极速提分法第15招构造三角形中位线的五种常用方法 练习课件 2023-2024学年北师大版八年级数学下册

第15招 构造三角形中位线的五种常用方法 北师版 八年级下 例 典 例 剖 析 极速提分法 【解题秘方】 极速提分法 证明：如图，延长AM，AN分别交BC于点F，G. ∵BD平分∠ABC，AN⊥BD， ∴∠ABN＝∠GBN，∠ANB＝∠GNB＝90°. 又∵BN＝BN， ∴△ABN≌△GBN(ASA)． ∴AN＝NG，AB＝BG. 极速提分法 极速提分法 方法 1 连接两点构造三角形的中位线 分 类 训 练 1 [2023·成都外国语学校模拟]如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BCD的平分线交边AB于点E，BF⊥CE于点F. 极速提分法 (1)求证：CF＝EF； 【证明】在▱ABCD中，AB与CD平行， ∴∠DCE＝∠BEC. ∵CE平分∠BCD，∴∠DCE＝∠BCE， ∴∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE. ∵BF⊥CE，∴CF＝EF. 极速提分法 (2)连接OF，若CD＝9，AD＝6，求OF的长． 极速提分法 2 如图，在△ABC中，点M为BC的中点，AD为△ABC的外角∠EAB的平分线，且AD⊥BD.若AB＝12，AC＝18，连接DM，求DM的长． 方法 2 利用角平分线和垂直构造三角形的中位线 极速提分法 【解】如图，延长BD交AE于点N. ∵AD为△ABC的外角∠EAB的平分线， ∴∠NAD＝∠BAD. 又∵AD⊥BD， ∴∠ADN＝∠ADB＝90°. 极速提分法 极速提分法 3 如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，点E为BC的中点，连接DE.求DE的长. 极速提分法 【解】如图，延长BD交AC于点F. ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠FAD. ∵BD⊥AD， ∴∠ADB＝∠ADF＝90°. 极速提分法 极速提分法 方法 3 倍长法构造三角形的中位线 极速提分法 极速提分法 极速提分法 【点方法】 本题运用倍长法构造全等的三角形，再利用三角形的中位线定理解决． 极速提分法 5 如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，M，N分别是AD，BC的中点．若AB＝10，CD＝8，求MN长度的取值范围． 方法 4 已知一边中点，取另一边中点构造三角形的中位线 极速提分法 极速提分法 6 [2023·天津中学月考]如图所示，在△ABC中，∠A＝40°，D，E分别在AB，AC上，BD＝CE， BE，CD的中点分别是M，N，直线MN 分别交AB，AC于点P，Q，求∠APQ的 度数． 方法 5 已知两边中点，取第三边中点构造三角形的中位线 极速提分法 极速提分法 极速提分法 如图，在△ABC中，BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，AM⊥CE于点M，AN⊥BD于点N，连接MN.求证：MN＝(AB＋AC－BC)． 图中不存在中点，但结论与三角形中位线定理很类似，因此应设法寻找中点，构造三角形的中位线．要证明MN＝(AB＋AC－BC)，可找以MN为中位线的三角形的底边，如图，延长AM交BC于点F，延长AN交BC于点G，易证明MN＝FG，而FG＝BG＋FC－BC.又易证明BG＝AB，FC＝AC，故问题得解． 同理可得AM＝MF，AC＝CF. ∴M，N分别为AF，AG的中点． ∴MN＝FG. 又∵FG＝BG＋FC－BC＝AB＋AC－BC， ∴MN＝(AB＋AC－BC)． 【解】在▱ABCD中，OC＝OA，AB＝CD＝9，BC＝ AD＝6，∴BE＝BC＝6，∴AE＝AB－BE＝9－6＝3. ∵OC＝OA，CF＝EF， ∴OF是△ACE的中位线，∴OF＝AE＝1.5. 在△AND和△ABD中， ∴△AND≌△ABD(ASA)．∴DN＝DB，AN＝AB. 又∵点M为BC的中点，∴DM是△BCN的中位线． ∴DM＝NC＝(AN＋AC)＝(AB＋AC)＝15. 又∵AD＝AD，∴△ADB≌△ADF(ASA)． ∴AF＝AB＝6，BD＝FD. ∵AC＝10，∴CF＝AC－AF＝10－6＝4. ∵点E为BC的中点，BD＝FD， ∴DE是△BCF的中位线．∴DE＝CF＝×4＝2. 4如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，M为AF的中点．求证：ME＝CF. 【证明】如图，延长FE至点N，使EN＝EF，连接BN，AN.易得ME＝AN. ∵EF＝EN，∠BEF＝90°， ∴BF＝BN.∴∠BNF＝∠BFN. ∵△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°， ∴∠BFN＝45°.∴∠BNF＝45°. ∴∠FBN＝90°，即∠FBA＋∠ABN＝90°. 又∵∠FBA＋∠CBF＝90°，∴∠CBF＝∠ABN. 在△BCF和△BAN中， ∴△BCF≌△BAN(SAS)．∴CF＝AN.∴ME＝CF. 【解】如