极速提分法第2招构造全等三角形的七种常用方法 练习课件 2023-2024学年北师大版八年级数学下册

第2招 构造全等三角形的七种常用方法 北师版 八年级下 例 典 例 剖 析 如图，已知AB∥CD，CE，BE分别平分∠BCD和∠CBA，点E在AD上．求证：BC＝AB＋CD. 极速提分法 【解题秘方】 证明线段的和差时，常采用截长补短法，把较短的线段延长，或把较长的线段截成两条短线段，构造全等三角形来证明． 极速提分法 极速提分法 极速提分法 方法 1 翻折法 分 类 训 练 1 如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：∠2＝∠1＋∠C. 极速提分法 【证明】如图，延长AD交BC于点F(相当于将AB边向下翻折，点A落在点F处，折痕为BD)． ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE. ∵BD⊥AD， ∴∠ADB＝∠BDF＝90°. 极速提分法 极速提分法 2 [2023·北京八中模拟]如图，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，直角三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA，OB相交于点C，D，问PC与PD相等吗？试说明理由． 方法 2 作垂线法 极速提分法 【解】PC＝PD.理由如下：如图，过点P分别作PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为点E，F. ∵OM平分∠AOB， ∴PE＝PF. ∵∠AOB＝90°， ∠PEO＝∠PFO＝90°， ∴∠EPF＝90°，即∠EPC＋∠CPF＝90°. 极速提分法 极速提分法 3 如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q.求证：AB＋BP＝BQ＋AQ. 方法 3 作平行线法 极速提分法 极速提分法 如图，过点P作PD∥BQ交CQ于点D， 则∠CPD＝∠CBQ＝40°. ∴∠CPD＝∠C＝40°. ∴PD＝CD，∠ADP＝∠CPD＋ ∠C＝40°＋40°＝80°. 又∵∠ABC＝80°，∴∠ABC＝∠ADP. ∵AP平分∠BAC，∴∠BAP＝∠CAP. 极速提分法 极速提分法 4 如图，在△ABC中，D为BC的中点． (1)求证：AB＋AC>2AD； 方法 4 倍长中线法 极速提分法 【证明】如图，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE， 则AE＝2AD. ∵D为BC的中点，∴CD＝BD. 又∵AD＝ED，∠ADC＝∠EDB，　 ∴△ADC≌△EDB(SAS)． ∴AC＝EB. ∵AB＋BE>AE，∴AB＋AC>2AD. 极速提分法 (2)若AB＝6，AC＝2，求AD的取值范围． 【解】∵AB－BE<AE<AB＋BE， ∴AB－AC<2AD<AB＋AC. ∵AB＝6，AC＝2，∴4<2AD<8.∴2<AD<4. 极速提分法 【点方法】 本题运用倍长中线法构造全等三角形，将证明不等关系和求线段取值范围的问题通过证全等，转化到一个三角形中，利用三角形的三边关系来解决． 极速提分法 5 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°.E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系并证明． 方法 5 截长(补短)法 极速提分法 【解】EF＝BE＋FD. 证明：如图，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG. ∵∠B＝∠ADC＝90°，∴∠B＝∠ADG＝90°. 极速提分法 极速提分法 6 [2023·杭州公益中学月考]已知如图，AC＝AE，AD＝AB，∠ACB＝∠DAB＝90°，AE∥CB，AC，DE交于点F. 方法 6 补形法 极速提分法 (1)求证：∠DAC＝∠ABC； 【证明】∵∠ACB＝90°，AE∥BC， ∴∠CAE＝180°－∠ACB＝90°，∠ABC＝∠BAE， ∴∠BAE＝90°－∠BAC. ∵∠DAB＝90°， ∴∠DAC＝90°－∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE， ∴∠DAC＝∠ABC. 极速提分法 (2)线段AF，BC具有怎样的数量关系？ 【解】如图，作DG⊥AC交AC的延长线于点G. ∵AG⊥DG，∠ACB＝90°，∴∠AGD＝∠ACB＝90°， 极速提分法 极速提分法 7 [2023·济南章丘区四中模拟]在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E. (1)当直线MN绕点A旋转到图①的位置时， ∠EAB＋∠DAC＝________； 方法 7 旋转法 90° 极速提分法 (2)求证：DE＝CD＋BE； 【证明】∵CD⊥MN于D，BE⊥MN于E， ∴∠ADC＝∠BEA＝90°. ∴∠DAC＋∠DCA＝90°. ∵∠DAC＋∠EAB＝90°，∴∠DCA＝∠EAB. 极速提分法 极速提分法 (3)当直线MN绕点A旋转到图②的位置时，试问DE，CD，BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证