极速提分法第1招等腰三角形“三线合一”解题的六种常见类型 课件2023-2024学年北师大版八年级数学下册

第1招 等腰三角形“三线合一”解题的六种常见类型 北师版 八年级下 例 典 例 剖 析 极速提分法 【解题秘方】 等腰三角形“三线合一”的性质是证线段或角的倍分关系或相等关系常用的性质之一，解答与等腰三角形有关的题型时，常常要考虑构造等腰三角形“三线合一”的基本图形． 极速提分法 极速提分法 类型 1 利用“三线合一”求角的度数 分 类 训 练 1 如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，点E和点F分别在BA和BC边上，且BE＝BF，连接EF并延长 交AC的延长线于点G，∠G＝20°， 取EF的中点O，连接BO并延长交AC 于点D. 极速提分法 (1)求∠BEF的度数； 极速提分法 (2)求∠BDC的度数． 【解】∵EF的中点为O， ∴OE＝OF，即BO是△BEF的中线． 又∵BE＝BF，∴BO⊥EF.∴∠DOG＝90°. 又∵∠G＝20°，∴∠BDC＝180°－∠DOG－∠G＝ 180°－90°－20°＝70°， 即∠BDC的度数为70°. 极速提分法 2 在等边三角形ABC中，BD为∠ABC的平分线，BD交AC于点D，延长BC至点E，使CE＝CD. 类型 2 利用“三线合一”求线段长 极速提分法 (1)求证：DB＝DE； 极速提分法 (2)若等边三角形ABC的边长为2，求BE的长． 极速提分法 3 类型 3 利用“三线合一”证角相等 极速提分法 极速提分法 4 [2023·成都外国语学校月考]已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点． (1)如图①，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，试判断△DEF的形状，并说明理由； 类型 4 利用“三线合一”判断三角形的形状 极速提分法 【解】△DEF为等腰直角三角形． 理由：连接AD，∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝45°. ∵D为BC的中点，∴∠BAD＝∠CAD＝45°，AD⊥BC. ∴∠B＝∠DAF＝∠BAD，∠ADB＝90°.∴BD＝AD. 又∵BE＝AF，∴△BDE≌△ADF，∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF. ∴∠EDF＝∠EDA＋∠ADF＝∠EDA＋∠BDE＝∠ADB＝90°.∴△DEF为等腰直角三角形． 极速提分法 (2)如图②，若E，F分别为AB的延长线、CA的延长线上的点，且仍有BE＝AF，请判断△DEF是否仍有(1)中的形状，并说明理由． 极速提分法 【解】△DEF仍是等腰直角三角形．理由：连接AD， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠EAF＝90°，∠ABC＝∠C＝45°.∴∠DBE＝135°.∵D为BC的中点，∴∠BAD＝∠CAD＝45°，AD⊥BC.∴∠DAF＝∠BAD＋∠EAF＝135°，∠BAD＝∠ABC，∠ADB＝90°.∴∠DBE＝∠DAF，BD＝AD.又∵BE＝AF，∴△DBE≌△DAF.∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF.∴∠EDF＝∠BDE＋∠BDF＝∠ADF＋∠BDF＝∠ADB＝90°.∴△DEF是等腰直角三角形． 极速提分法 5 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC上任意一点，延长BA到点E，使AE＝AD，连接DE. 求证：DE⊥BC. 类型 5 利用“三线合一”证垂直 极速提分法 【证明】如图，过点A作AF⊥BC于点F. ∵AB＝AC，AF⊥BC，∴∠BAF＝∠CAF. ∵AE＝AD，∴∠AED＝∠ADE. 又∵∠BAC＝∠ADE＋∠AED＝∠BAF＋∠CAF， ∴∠BAF＝∠AED.∴AF∥DE. ∴DE⊥BC. 极速提分法 6 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且∠ABC＝2∠C.求证：CD＝AB＋BD. 类型 6 利用“三线合一”证线段的和差关系(构造三线法) 极速提分法 【证明】如图，以点A为圆心，AB长为半径画弧交CD于点E，连接AE，则AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABC. ∵AD⊥BC，∴DE＝BD. 又∵∠ABC＝2∠C，∴∠AEB＝2∠C. 又∵∠AEB＝∠CAE＋∠C， ∴∠CAE＝∠C.∴CE＝AE＝AB. ∴CD＝CE＋DE＝AB＋BD. 极速提分法 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D.求证：∠DBC＝∠BAC. 证明：如图，过点A作AF⊥BC于点F. ∵AB＝AC，AF⊥BC， ∴∠CAF＝∠BAF＝∠BAC. ∵AF⊥BC，BD⊥AC， ∴∠CAF＋∠C＝∠DBC＋∠C＝90°. ∴∠DBC＝∠CAF.∴∠DBC＝∠BAC. 【解】∵BE＝BF，∴∠BEF＝∠BFE. ∵∠ABC＝50°， ∴∠BEF＝(180°－∠ABC)＝×(180°－50°)＝65°， 即∠BEF的度数为65°. 【证明】∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°. ∵BD为∠ABC的平分线，∴∠DBC＝∠ABC＝30°.