上海市浦东复旦附中分校2023-2024学年高三下学期3月月考数学试题

2023-2024学年上海市上海复旦附中浦东分校高三年级 下学期3月月考 2024.3 一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1.已知是虚数单位，则______. 2.直线与直线平行，则______. 3.设，若关于的不等式的解集是区间的真子集，则的取值范围是______. 4.函数的最小值为______. 5.已知的展开式中项的系数为，则______. 6.若椭圆的离心率为，则______. 7.某医院选派甲乙等4名医生到3个乡镇义诊，每个乡镇至少有一人，每名医生只能去一个乡镇，且甲乙不在同一个乡镇，则不同的选派方法有______种 8.已知数列的前项和为，且，则______. 9.若函数的图象在内有且仅有两条对称轴，一个对称中心，则实数的最大值是______. 10.已知某人每次投篮的命中率为，投进一球得1分，投不进得0分，记投篮一次的得分为，则的最大值为______. 11.若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为______. 12.已知非空集合满足．若存在非负整数，使得当时，均有，则称集合具有性质．设具有性质的集合的个数为，求的值为______. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13.如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是　　 A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 14.有一组样本数据由5个连续的正整数，，，组成，其中是最小值，是最大值，若在原数据的基础上增加两个数据，，组成一组新的样本数据，，，，，，则　　 A．新样本数据的平均数小于原样本数据的平均数 B．新样本数据的平均数大于原样本数据的平均数 C．新样本数据的方差等于原样本数据的方差 D．新样本数据的方差大于原样本数据的方差 15.某品牌手机为了打开市场，促进销售，准备对其特定型号的产品降价，有四种降价方案：①先降价，再降价；②先降价，再降价；③先降价，再降价；④一次性降价．其中，则最终降价幅度最小的方案是　　 A．① B．② C．③ D．④ 16.已知平面非零向量，，，满足，，，则对于任意的使得　　 A．恒有解 B．恒有解 C．恒无解 D．恒无解 三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图．在直棱柱中，，，，是的中点，点在棱上运动． （1）证明：； （2）当异面直线，所成的角为时，求三棱锥的体积． 18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“函数”． （1）试判断，是否为“函数”，简要说明理由； （2）若是定义在区间上的“函数”求实数的取值范围； 19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立． （1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率； （2）记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和均值（数学期望）． 20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 己知椭圆过点，离心率. （1）求椭圆C的方程； （2）设过点A的直线l交椭圆C于另一点B，若△OAB的面积为2，其中O为坐标原点，求直线l的方程； （3）设过点的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线于点P，Q.求证：线段PQ的中点为定点. 21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知函数 （1）若，求的单调区间 （2）若时恒成立，求实数的取值范围 （3）定义函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列” ①已知，为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有 ②已知，为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”，与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由。 第1页(共5页) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年上海市上海复旦附中浦东分校高三年级 下学期3月月考 2024.3 一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1.已知是虚数单位，则___