导数综合复习（一）变化率问题-2024年高考数学一轮复习

高考数学综合复习 导数综合复习（一） 变化率问题 学校： . 班级： . 姓名： . 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 前言 导数是研究函数的变化趋势的一个工具，是初等数学与高等数学中比较常用的一个工具，是研究高等数学的基础。由变化率引出导数，借助导数，不仅可以研究一元函数，而且还可以研究多元函数。 中学阶段，我们需要了解变化率和导数的定义，并通过研究导数的相关性质得出函数的单调性和极最值，体会导数问题的一般研究思路，掌握导数问题的基本研究方法。这一部分内容难度大、知识运用性强，是整个高中数学学习过程中最难的一部分，涉及的题型多，技巧多，思维跳跃性大，需要逐步进行分析，不能图快，一味放弃对难题的解答，需要重视相关思想的培养和训练，如函数思想、方程思想等。 作为高考数学中的一个最为重要内容，无论是哪个高考卷，选择填空和大题都经常能见到导数的身影，常用作选择，填空和大题的压轴题。常常考查函数的求导，构造函数法，高阶函数的求导，函数的几何性质，导数的证明等等，具有非常强的综合性。由于导数在高中数学中是最难的一部分，在高考大题中常作为最后一道压轴题出现，但只要熟练掌握了所有导数知识，并学会了所有导数相关的题型，解决导数问题也是相对容易的。 作为人教A版（2019）选择性必修第二册的重点内容，书本用了一大半的篇幅讲了导数，可见导数的地位是极为重要的。书中从倒数的概念及其意义，导数的运算，导数在研究函数中的应用三个方面对导数进行了简单的介绍，讲述了导数的几何性质，运算，单调性和极最值。学生在学习时如果仅掌握了书本上的知识是远远不够的，还需要掌握一些其他的知识。本系列资料对导数的各个方面进行了详尽的介绍，也把高考数学中导数的所有知识和考试题型进行了较为完整的总结。学生和老师可以根据自身需要去学习相对应的知识，把每个知识点和求解方法都掌握并加以运用，切不可忽视任何一个章节和每一处细节，高考数学对于导数的考查是极其详尽的。 编者：贤岭村村长 2024.01.03 学科网（北京）股份有限公司 目录 一、瞬时变化率与导数的概念 1 1.瞬时速度：物体在某一时刻的速度 1 2.瞬时变化率与导数 1 二、导数的几何意义 7 1.平均变化率 7 2.瞬时变化率——曲线切线的斜率（倾斜角） 7 3.函数割线与切线的关系 7 4.导函数 8 三、题型考查 8 1.求曲线切线的斜率（倾斜角） 8 2.求在曲线上—点处的切线方程（斜率） 11 3.求过一点的切线方程 13 4.已知切线（斜率）求参数 15 5.两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 17 6.已知某点处的导数值求参数或自变量 19 四、题组训练 20 学科网（北京）股份有限公司 一、瞬时变化率与导数的概念 1.瞬时速度：物体在某一时刻的速度 2.瞬时变化率与导数 （1）函数极限 对于，当时，称作函数在点的极限，记为 （2）导数定义 对于函数，设自变量从变化到，相应地，函数值就从变化到。这时，的变化量为的变化量为： 我们把比值，即 叫做函数从到的平均变化率。 如果当时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫作在处的导数（derivative）（也称为瞬时变化率），记作或，即 （3）导数定义中极限的简单计算 【例1】1．（2023上·江苏扬州·高二统考阶段练习）设函数在处存在导数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的定义求解． 【详解】， 故选：A． 【例2】（2023上·上海闵行·高三校考期中）已知函数，若，则 . 【答案】 【分析】由导数定义构造计算可以得到结果. 【详解】， 又，， 所以. 故答案为：. （4）利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 【例1】（2010·全国·高考真题）若曲线y＝x2＋ax＋b在点（0，b）处的切线方程是x－y＋1＝0，则（    ） A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1 【答案】A 【分析】先用导数的定义解出函数在x=0处的导数，进而结合导数的几何意义求得答案. 【详解】由题意可知k＝， 又（0，b）在切线上，解得：b＝1. 故选：A. 【例2】（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）函数在点处的切线方程为 . 【答案】 【分析】由导数定义结合导数几何意义可得切线的斜率，即可得切线方程. 【详解】 则曲线在