第19章四边形集训课堂练素养1构造三角形中位线的常用方法作业课件 2023-2024学年沪科版八年级数学下册（安徽专版）

沪科版 八年级下 第十九章 四边形 练素养　 1.构造三角形中位线的常用方法 集训课堂 素养提升练 1 2 3 温馨提示：点击 进入讲评 习题链接 素养提升练 【新考法·化动为定法】如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝8，AD＝6，点M，N分别为线段BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E，F分别为DM，MN的中点． 求EF长度的最大值． 1 素养提升练 3 素养提升练 2 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，BD⊥AC于点D，CE平分∠ACB，交AB于点E，交BD于点F. 素养提升练 求证：(1)△BEF是等腰三角形； 证明：在△ABC中，∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝45°. ∵CE平分∠ACB，∴∠ECB＝∠ACE＝22.5°. ∵BD⊥AC，∠ABC＝90°， ∴∠BEF＝∠CFD＝∠BFE＝67.5°. ∴BE＝BF，即△BEF是等腰三角形． 素养提升练 素养提升练 素养提升练 【点方法】 若已知一条线段的中点，可将另一线段延长一倍构造三角形中位线解题． 素养提升练 3 【2023·东营】(1)用数学的眼光观察 如图①，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是AB的中点，N是DC的中点，求证：∠PMN＝∠PNM. 素养提升练 素养提升练 (2)用数学的思维思考 如图②，延长图①中的线段AD交MN的延长线于点E，延长线段BC交MN的延长线于点F.求证：∠AEM＝∠F. 素养提升练 证明：由(1)知，PN是△BDC的中位线， PM是△ABD的中位线， ∴PN∥BC，PM∥AD， ∴∠PNM＝∠F，∠PMN＝∠AEM. ∵∠PNM＝∠PMN，∴∠AEM＝∠F. 素养提升练 (3)用数学的语言表达 如图③，在△ABC中，AC<AB，点D在AC上，AD＝BC，M是AB的中点，N是DC的中点，连接MN并延长，与BC的延长线交于点G，连接GD，DB，若∠ANM＝60°，试判断△CGD的形状，并进行证明． 素养提升练 解：△CGD是直角三角形，证明如下： 如图，取BD的中点P，连接PM，PN. ∵N是CD的中点，M是AB的中点，P是BD的中点， ∴PN是△BCD的中位线，PM是△ABD的中位线， 素养提升练 素养提升练 素养提升练 解：连接DN. ∵点E，F分别为DM，MN的中点， ∴EF是△MND的中位线．∴EF＝DN. ∵点N为线段AB上的动点， ∴当点N与点B重合时，DN最长． ∵∠A＝90°，AB＝8，AD＝6， ∴当点N与点B重合时，DN＝＝10. ∴EF长度的最大值为×10＝5. (2)BD＝(BC＋BF)． 解：如图，延长AB至点M，使得BM＝AB， 连接CM. 易知D是AC的中点， ∴BD∥MC，BD＝MC. ∴∠BFE＝∠MCE. 由(1)得∠BEF＝∠BFE，BE＝BF， ∴∠BEF＝∠MCE.∴ME＝MC. ∵BM＝AB＝BC， ∴BD＝MC＝ME＝(MB＋BE)＝(BC＋BF)． 证明：∵P是BD的中点，N是DC的中点， M是AB的中点， ∴PN是△BCD的中位线，PM是△ABD的中位线， ∴PN＝BC，PM＝AD. ∵AD＝BC，∴PM＝PN，∴∠PMN＝∠PNM. ∴PN∥BC，PN＝BC，PM∥AD，PM＝AD. ∵AD＝BC，∴PM＝PN，∴∠PNM＝∠PMN. ∵PM∥AD，∴∠PMN＝∠ANM＝60°， ∴∠PNM＝∠PMN＝60°. ∵PN∥BC，∴∠CGN＝∠PNM＝60°. 又∵∠CNG＝∠ANM＝60°， ∴△CGN是等边三角形，∴CN＝GN. 又∵CN＝DN，∴DN＝GN， ∴∠NDG＝∠NGD＝∠CNG＝30°， ∴∠CGD＝∠CGN＋∠NGD＝90°， ∴△CGD是直角三角形． $$