第8讲 利用导数研究函数极值与最值-2023-2024学年高二数学同步训练人教A版2019选择性必修第二册

导数系统班-同步 第8讲 利用导数研究函数的极值与最值（1） 知识点一 函数极值的辨析 例1 函数 的导函数 的图像如图所示，以下命题错误的是（    ）    A．是函数的最小值 B．是函数的极值 C．在区间上单调递增 D．在处的切线的斜率大于0 【答案】A 【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率． 【详解】根据导函数图象可知当时，，在时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增，故C正确； 易知是函数的极值，故B正确； 因为在上单调递增，则不是函数的最小值，故A错误； 因为函数在处的导数大于0，即切线的斜率大于零，故D正确. 故选：A． 例2 设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（　　） A．有两个极值点 B．为函数的极大值 C．有两个极小值 D．为的极小值 【答案】BC 【分析】根据的图象，得到的单调性和极值情况，得到答案. 【详解】根据的图象，可得 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， AC选项，在和1处取得极小值，在处取得极大值，共3个极值点， A错误，C正确； B选项，为函数的极大值，B正确； D选项，不为函数的极小值，D错误. 故选：BC 练1 （多选题）下列结论正确的是（    ） A．导数为零的点不一定是极值点 B．如果在点附近的左侧，右侧，那么是极大值 C．如果在点附近的左侧，右侧，那么是极小值 D．如果在点附近的左侧，右侧，那么是极大值 【答案】AB 【分析】举例可判断A，结合极值点以及极值的定义，根据导数与极值的关系即可判断B，C，D. 【详解】不妨取，，， 当或时，都有，即不是函数的极值点，A正确； 根据极值的概念，在点附近的左侧，则函数单调递增； 在点附近的右侧，函数单调递减，则为极大值； 在点附近的左侧，则函数单调递减， 在点附近的右侧，函数单调递增，则为极小值， 故B正确，C，D错误 故选：AB 练2 已知函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上有且仅有2个极值点 C．在区间上最多有4个零点 D．在区间上存在极大值点 【答案】CD 【分析】结合导数图像的正负性，判断原函数的单调性，进而逐一对选项辨析即可. 【详解】由图可知，在区间为负，单调递减， 在区间为正，单调递增，故A错误； 在区间上有3个零点，且零点附近左右两边的值一正一负， 故有3个极值点，故B错误； 在区间，为负，单调递减， 在区间，为正，单调递增， 则在与时取得极小值， 在时取得极大值，则当与时， ，且时， 在区间上最多有4个零点, 故C正确； 在区间上为正，单调递增， 在区间上为负，单调递减， 则为极大值点，故D正确； 故选：CD. 练3 函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．是函数的极值点 B．3是函数的极大值点 C．在区间上单调递减 D．1是函数的极小值点 【答案】AC 【分析】根据导函数的图象，得出函数的单调区间，进而即可得出函数的极值情况. 【详解】对于A项，由图象可知， 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减. 所以，在处取得极大值.故A正确； 对于B项，由图象可知， 当时，恒成立，且不恒为0，所以在上单调递减. 所以，3不是函数的极大值点.故B错误； 对于C项，由B可知，在区间上单调递减.故C正确； 对于D项，由B可知，在上单调递减. 所以，1不是函数的极小值点.故D错误. 故选：AC. 知识点二 函数极值的有关计算 例1 已知函数.求的极值. ， 当时，， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，取得极小值，且极小值为，无极大值. 例2 已知函数． (1)求函数的极值； （1）利用求导得出的递增区间和递减区间，即可得到结果； （2）构造新函数，利用导数判断函数的单调性，即可得证. 【详解】（1），∴， 令，解得， 所以当时，， 当时，， 的单调递减区间为，单调递增区间为， 有极小值且为，无极大值． 例3 已知函数. (1)若，求证：； (2)若有两个极值点，且，当取最小值时，求的极小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由，由的正负，判断的增减性，进而得到的最小值为，得证. （2）有两个极值点，且,的两根为，进而得，再利用导函数研究的单调性和极值即可. 【详解】（1） 因为，所以， 令，得，解得. 所以在上单调递增； 同理可得在上单调递减； . （2）由（1）知时，只有一个极值点，不合题意. 当时，有两个根， 所以，解得， 又，故. 因此. 令，得或. 令，得. 所以在和上单调递增，在上单调递减； 所以当时，取得极小值.