9.5三角形的中位线 讲义 2023-2024学年苏科版数学八年级下册

9.5三角形的中位线（讲义） 知识梳理： 【知识点一】三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 知识要点： （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 【知识点二】顺次连接特殊的平行四边形各边中点 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 知识要点： 新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形 典型例题： 【例1】如图，已知是的中线，、分别是、边上的中点，则下列说法正确的个数是（    ） ①；②；③和互相平分；④连接，则四边形是平行四边形；⑤． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，根据由三角形中位线定理逐一判断①②⑤；由，，易得四边形是平行四边形，可判断③④． 解：如图，连接， 是的中线， 点D是的中点， 、分别是、边上的中点， ，故①②⑤正确； ，， 四边形是平行四边形， 和互相平分；故③④正确； 则正确的有5个， 故选：D． 【例2】如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（　　） A．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形 B．当E，F，G，H是各边中点，且AC＝BD时，四边形EFGH为菱形 C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形 D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可能为平行四边形 【答案】C 【详解】∵E，F，G，H是四边形ABCD各边中点， ∴EF∥AC，EFAC，GH∥AC，GHAC， ∴EF∥GH，EF＝GH， ∴四边形EFGH是平行四边形． A．∵AC⊥BD，EF∥AC，EH∥BD， ∴EF⊥EH， ∴∠FEH＝90°， ∴四边形EFGH为矩形， 故选项正确，不符合题意； B．∵EFAC，EHBD，AC＝BD， ∴EF＝EH， ∴四边形EFGH是菱形． 故选项正确，不符合题意； C．如图所示，若EF＝FG＝GH＝HE，则四边形EFGH为菱形，此时E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点， 故选项错误，符合题意； D．如图所示，若EF∥HG，EF＝HG，则四边形EFGH为平行四边形，此时E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点， 故选项正确，不符合题意． 故选：C． 【例3】如图，在中，点D，E分别是，的中点，以点A为圆心，为半径作圆弧交于点F．若，，则的长为 ． 【答案】3 【详解】本题考查三角形的中位线性质，熟练掌握三角形的中位线性质是解答的关键．利用三角形的中位线得到，进而求得即可求解． 解：∵在中，点D、E分别是、的中点，， ∴，即， ∵以A为圆心，为半径作圆弧交于点F，， ∴， ∴， 故答案为：3． 【例4】已知中，点D为斜边的中点，连接，将沿翻折，使点B落在点E的位置，交于F，连接．若，，则AE的长为 ． 【答案】 【详解】如图， 过点D作，，垂足为，连接交于点G， 在中，，，得， ∵点D为斜边的中点， ∴， 在中，，得， 那么， 在中，， ∴， ∴为的中位线， ∴，， 由折叠得，垂直平分， 在中，由三角形面积公式得，即， 在中，， ∴， 故答案为：． 【例5】如图，在中，D为斜边的中点，E为上一点，F为中点，若，．   （1）求证：为的角平分线； （2）求的长． 【答案】（1）见分析；（2）4 【详解】（1）证明：， ， 为斜边的中点，F为中点， 是的中位线， ， ， ， 为的角平分线． （2）解：为斜边的中点，F为中点，， ， ， ， 在中，D为斜边的中点， ． 【例6】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF． （1）求证：AF＝DC； （2）若AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论． 【答案】（1）见详解；（2）矩形 【详解】（1）证明：∵E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∵AF∥BC， ∴