微专题09 导数解答题之恒成立与能成立问题-2024年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分

微专题09 导数解答题之恒成立与能成立问题 【秒杀总结】 1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题； （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 2、利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 3、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，. （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集. 【典型例题】 例1．（2024·安徽安庆·二模）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数m的取值范围． 例2．（2024·四川成都·二模）已知函数的图象在处的切线经过点． (1)求的值及函数的单调区间； (2)若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围． 例3．（2024·四川泸州·二模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间内存在，，使得，求实数的取值范围． 例4．（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）已知函数，. (1)当时，求在处的切线方程； (2)若，，使得， ①求的单调区间； ②求的取值范围. 例5．（2024·四川成都·二模）已知函数的图象在处的切线经过点. (1)求的值及函数的单调区间； (2)若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围. 例6．（2024·福建厦门·二模）若，都存在唯一的实数，使得，则称函数存在“源数列”.已知. (1)证明：存在源数列； (2)（ⅰ）若恒成立，求的取值范围； （ⅱ）记的源数列为，证明：前项和. 例7．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数，其中. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，求实数的取值范围. 【过关测试】 1．（2024·海南·模拟预测）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若不等式对任意恒成立，求的取值范围. 2．（2024·全国·模拟预测）已知函数． (1)若的零点也是其极值点，求； (2)若对所有成立，求的取值范围． 3．（2024·河南·模拟预测）已知函数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)若对于任意，都有恒成立，求实数的取值范围． 4．（2024·浙江·模拟预测）已知函数， (1)当时，求函数的值域； (2)若函数恒成立，求的取值范围. 5．（2024·高三·河北·开学考试）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求实数m的取值范围． 6．（2024·陕西·模拟预测）已知函数． (1)当时，讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 7．（2024·高三·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 8．（2024·江苏·模拟预测）若时，函数取得极大值或极小值，则称为函数的极值点.已知函数，其中为正实数. (1)若函数有极值点，求的取值范围； (2)当和的几何平均数为，算术平均数为. ①判断与和的几何平均数和算术平均数的大小关系，并加以证明； ②当时，证明：. 9．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数R. (1)当时，讨论函数的单调性； (2)当时，对任意均有不等式恒成立，求的取值范围. 10．（2024·贵州贵阳·一模）已知函数，． (1)若，讨论函数的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 11．（2024·四川泸州·二模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若，，求实数a的取值范围． 12．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数. (1)求函数的极值； (2)若对任意有解，求的取值范围. 13．（2024·高三·广东深圳·阶段练习）已知． (1)讨论的单调性和极值； (2)若时，有解，求的取值范围． 14．（2024·山西吕梁·一模）已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)若对任意恒成立，求正实数的取值集合． 15．（2024·陕西西安·一模）已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 16．（2024·广东广州·一模）已知函数，其导函数为. (1)若在不是单调函数，求实数a的取值范围； (2)若在上恒成立，求实数a的最小整数值. 17．（2024·云南曲靖·一模）已知函数． (1)若曲线在点处的切