9.4矩形、菱形、正方形 正方形讲义 2023-2024学年苏科版数学八年级下册

9.4矩形、菱形、正方形 （之正方形讲义） 知识梳理： 【知识点一】正方形的性质 正方形的定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 正方形的性质： （1）正方形具有平行四边形和菱形的所有性质。 （2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等。 （3）正方形对边平行且相等。 （4）正方形的对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角； （5）正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （6）正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形. 【知识点二】正方形的判定 （1）有一个角是直角的菱形是正方形； （2）对角线相等的菱形是正方形； （3）一组邻边相等的矩形是正方形； （4）对角线互相垂直的矩形是正方形； （5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； （6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形. 典型例题： 【例1】已知在四边形中，与相交于点O，那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是（　　） A．，， B． C． D． 【答案】B 【详解】本题主要考查正方形的判定，根据判别一个四边形为正方形的方法逐一进行判定即可． 解：A、不能，对角线互相平分且一组邻边相等的四边形可判定为菱形，故本选项不符合题意． B、能，对角线互相平分且相等且一组邻边相等的四边形是正方形，可判定该四边形是正方形．故本选项符合题意． C、不能，根据平行线的性质和一组对角相等的四边形是平行四边形，可判定该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． D、不能，一组对边平行且相等，对角线相等可判定为矩形，故本选项不符合题意． 故选：B． 【例2】下列说法错误的是（　　） A．对角线相等的菱形是正方形 B．对角线垂互相平分且垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线垂直且相等的四边形是正方形 【答案】D 【详解】解：A、对角线相等的菱形是正方形，不符合题意； B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，不符合题意； D、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，符合题意； 故选：D． 【例3】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是（　　） A．BD＝AC B．DC＝AD C．∠AOB＝60° D．OD＝CD 【答案】B 【详解】解：要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理解答： （1）有一组邻边相等的矩形是正方形， （2）对角线互相垂直的矩形是正方形． ∴添加DC＝AD，能使矩形ABCD成为正方形． 故选：B 【例4】如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点． （1）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论； （2）当AD，AB满足什么条件时，四边形MENF是正方形． 【答案】（1）四边形MENF是菱形；（2）AD＝2AB 【解答】解：（1）四边形MENF是菱形．理由如下： ∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点， ∴NE∥CM，NE＝CM，MF＝CM， ∴NE＝FM，NE∥FM， ∴四边形MENF是平行四边形． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°， ∵M为AD中点， ∴AM＝DM， ∴△ABM≌△DCM（SAS）， ∴BM＝CM， ∵E、F分别是BM、CM的中点， ∴ME＝MF， ∴平行四边形MENF是菱形． （2）当AD＝2AB时，四边形MENF是正方形． ∵四边形MENF是正方形，则∠EMF＝90°， 又∵△ABM≌△DCM， ∴∠AMB＝∠DMC＝45°， ∴△ABM、△DCM为等腰直角三角形， ∴AM＝DM＝AB， ∴AD＝2AB， ∴当AD＝2AB时，四边形MENF是正方形． 【例5】如图，菱形与正方形的顶点，，，在同一条直线上，且，．   （1）的度数为 （2）点与点之间的距离为 ． 【答案】 （1） /15度 （2） 4 【详解】（1）连接，交于点O， ∵四边形是菱形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，    故答案为：． （2）∵四边形是菱形，四边形是正方形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：4． 【例6】如图，在正方形的外侧，作等边三角形，连接，．   （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴的度数为． 举一反三： 一、选择题（共5题） 1.（2023上·湖南长沙·九年级湖南师大附中博才实验中学校考阶段练习）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（