非线性回归方程、相关性分析专题讲义-2024届高三数学二轮复习

统计与概率专题：非线性回归方程、相关性分析 预备知识 回归方程的求解 （1）求回归方程的方法是____________________，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小． 若变量x与y具有线性相关关系，有n个样本数据，则回归方程____________中，. 其中， 称为样本点的中心． （2）线性回归模型，其中称为随机误差，自变量称为解释变量，因变量称为预报变量． 知识点一 非线性回归 【基础知识框架】 1.线性回归方程的求解 （1）求回归方程的方法是最小二乘法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小． 若变量x与y具有线性相关关系，有n个样本数据，则回归方程____________中，. 其中， 称为样本点的中心． （2）线性回归模型，其中称为随机误差，自变量称为解释变量，因变量称为预报变量． 2.非线性回归方程的求解 （1）确定变量，作出________________． （2）根据散点图，选择恰当的______________． （3）变量置换，通过变量置换把非线性回归问题转化为_______________问题，并求出线性回归方程． （4）分析拟合效果：通过计算____________或画____________图来判断拟合效果． （5）根据相应的变换，写出________________________方程． 3.常见的变换 （1）已知函数，左右两边同时取的指数，得______________，令，得________________ （2）已知函数，令，得________________ （3）已知函数，左右两边同时取的对数，得______________，令，得________________ （4）已知函数，左右两边同时取的对数，得______________，令，得________________ （5）已知函数，左右两边同时取的对数，得______________，令，得________________ 【例题分析】 1．（2023·广东广州·统考二模）某创业者计划在某旅游景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向，此创业者对该景区附近五家“农家乐”跟踪调查了100天，这五家“农家乐”的收费标准互不相同，得到的统计数据如下表，x为收费标准（单位：元/日），t为入住天数（单位：天），以频率作为各自的“入住率”，收费标准x与“入住率”y的散点图如图． x 100 150 200 300 450 t 90 65 45 30 20 (1)若从以上五家“农家乐”中随机抽取两家深入调查，记为“入住率”超过0.6的农家乐的个数，求的概率分布列； (2)令，由散点图判断与哪个更合适于此模型（给出判断即可，不必说明理由）？并根据你的判断结果求回归方程；（，的结果精确到0.1） (3)根据第（2）问所求的回归方程，试估计收费标准为多少时，100天销售额L最大？（100天销售额L＝100×入住率×收费标准x） 参考数据：，，，，，，，，，，． 2．（2022·山东烟台·统考三模）当下，大量的青少年沉迷于各种网络游戏，极大地毒害了青少年的身心健康.为了引导青少年抵制不良游戏，适度参与益脑游戏，某游戏公司开发了一款益脑游戏，在内测时收集了玩家对每一关的平均过关时间，如下表： 关卡 1 2 3 4 5 6 平均过关时间（单位：秒） 50 78 124 121 137 352 计算得到一些统计量的值为：，其中，. (1)若用模型拟合与的关系，根据提供的数据，求出与的经验回归方程； (2)制定游戏规则如下：玩家在每关的平均过关时间内通过可获得积分2分并进入下一关，否则获得分且该轮游戏结束.甲通过练习，前3关都能在平均时间内过关，后面3关能在平均时间内通过的概率均为，若甲玩一轮此款益脑游戏，求“甲获得的积分”的分布列和数学期望. 参考公式：对于一组数据（），其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 【变式训练】 例1．（2022·广东汕头·统考三模）目前，新冠病毒引起的疫情仍在全球肆虐，在党中央的正确领导下，全国人民团结一心，使我国疫情得到了有效的控制．其中，各大药物企业积极投身到新药的研发中．汕头某药企为评估一款新药的药效和安全性，组织一批志愿者进行临床用药实验，结果显示临床疗效评价指标A的数量y与连续用药天数x具有相关关系．刚开始用药时，指标A的数量y变化明显，随着天数增加，y的变化趋缓．根据志愿者的临床试验情况，得到了一组数据，，2，3，4，5，…，10，表示连续用药i天，表示相应的临床疗效评价指标A的数值．该药企为了进一步研究药物的临床效果，建立了y关于x的两个回归模型： 模型①：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程