9.4矩形、菱形、正方形 菱形讲义 2023-2024学年苏科版数学八年级下册

9.4矩形、菱形、正方形 （之菱形讲义） 知识梳理： 【知识点一】菱形的性质 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 菱形的性质： （1）具有平行四边形的所有性质； （2）四条边都相等； （3）两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角。 （4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，菱形的对称中心是菱形对角线的交点，菱形的对称轴是菱形对角线所在的直线，菱形的对称轴过菱形的对称中心。 菱形的面积公式：菱形ABCD的对角线是AC、BD，则菱形的面积公式是：S＝底×高，S＝ 【知识点二】菱形的判定 ( A )（1）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 （2）四条边相等的四边形是菱形。 （3）一组邻边相等的平行四边形是菱形。 典型例题： 【例1】在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中不一定正确的是（　　） A．AB＝AD B．AC⊥BD C．∠DAC＝∠BAC D．AC＝BD 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠BAC＝∠DAC，AB＝AD，AC⊥BD， 故A、B、D正确，无法得出AC＝BD， 故选：D． 【例2】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知AC＝10cm，BD＝24cm，则△ABD的周长为（　　） A．30cm B．36cm C．50cm D．52cm 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝10cm，BD＝24cm， ∴AB＝AD，OA＝AC＝5cm，OB＝BD＝12cm，AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°， ∴AB＝＝＝13（cm）， ∴AD＝AB＝13cm， ∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝13+13+24＝50（cm）， 故选：C． 【例3】如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴BO＝OD，∠DAO＝∠BAO＝25°，AC⊥BD， ∴∠ABD＝90°﹣∠BAO＝65°， ∵DH⊥AB，BO＝DO， ∴∠BDH＝90°﹣∠ABD＝25°，HO＝BD＝DO， ∴∠DHO＝∠BDH＝25°， 故选：A． 【例4】如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（　　） A． B．3+3 C．6 D． 【答案】D 【解答】如图，过点D作DE⊥AB于点E，连接BD， ∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°， ∴∠DAB＝60°，AD＝AB＝DC＝BC， ∴△ADB是等边三角形， ∴∠MAE＝30°， ∴AM＝2ME， ∵MD＝MB， ∴MA+MB+MD＝2ME+2DM＝2DE， 根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小， ∵菱形ABCD的边长为6， ∴DE3， ∴2DE＝6． ∴MA+MB+MD的最小值是6． 故选：D． 【例5】如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB． （1）求证：四边形OBEC是菱形； （2）若AD＝4，AB＝2，求菱形OBEC的面积． 【答案】（1）见详解； （2）4 【详解】证明：（1）∵BE∥AC，CE∥DB， ∴四边形OBEC是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OCAC，OBBD，AC＝BD， ∴OB＝OC， ∴四边形OBEC是菱形； （2）∵AD＝4，AB＝2， ∴S矩形ABCD＝4×2＝8， ∴S△OBCS矩形ABCD＝2， ∴菱形OBEC的面积＝2S△OBC＝4． 举一反三： 一、选择题（共5题） 1.依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是（　　） A．B． C． D． 2.（2023下·海南海口·八年级校考阶段练习）如图，在菱形中，，，则菱形的面积为（    ）    A．20 B．24 C．30 D．48 3.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是（4，0），（0，3），点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于（　　） A．16 B．20 C．24 D．26 4.（2023辽宁丹东·八年级统考期末）如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧交于点，再分别以点，为圆心，大于的相同长为半径画弧，两弧交于点；连接并延长交于点，连接，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D．无法确定 5.（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（    ） A．3 B．5 C． D． 二、填空题（共5题） 6