第08讲 二项式定理（春季讲义）-2023-2024学年高二数学春季讲义（人教A版2019）

第08讲 二项式定理 【人教A版2019】 ·模块一 二项式定理 ·模块二 二项式系数的性质 ·模块三 课后作业 模块一 二项式定理 1．二项式定理 一般地，对于任意正整数n，都有 =++++++.(*) 公式(*)叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数(k∈{0,1,2, ,n})叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第k+1项：=. (2)二项展开式的规律 ①二项展开式一共有(n+1)项. ②(n+1)项按a的降幂b的升幂排列. ③每一项中a和b的幂指数之和为n. 2.二项展开式中的通项问题的求解方法： 求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零； 求有理项时，指数为整数等)，解出项数k+1，代回通项公式即可. 【考点1 求二项展开式】 【例1.1】（22-23高二下·江苏南京·期中）化简的结果为（    ） A．x4 B． C． D． 【例1.2】（22-23高二下·山西临汾·期中）已知，则（    ） A．224 B． C． D．448 【变式1.1】（2023高三·全国·专题练习）展开： ． 【变式1.2】（22-23高二下·上海杨浦·期中）根据二项式定理，的二项展开式共有 项. 【考点2 求展开式的特定项或特定项的系数】 【例2.1】（22-23高二下·北京通州·期末）二项式的展开式的第3项为（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（2023·广西·一模）的展开式中的系数为（    ） A．40 B． C．80 D． 【变式2.1】（2023·上海奉贤·一模）若的展开式中存在常数项，则下列选项中的取值不可能是（     ） A． B． C． D． 【变式2.2】（22-23高二下·安徽亳州·开学考试）已知点的横纵坐标均是集合中的元素，若点在第二象限内的情况共有种，则的展开式中的第5项为（    ） A． B． C． D． 【考点3 根据二项式的特定项求值】 【例3.1】（2024·湖南·模拟预测）已知的展开式中的常数项为，则实数（    ） A．2 B．-2 C．8 D．-8 【例3.2】（22-23高二下·浙江杭州·期中）若二项式展开式中含有常数项，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3.1】（22-23高二下·上海浦东新·期中）若的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则n＝ . 【变式3.2】（20-21高二·全国·课时练习）若(a3＋4b2)n的展开式中有一项是ma12b8，则m，n的值分别是 ． 模块二 二项式系数的性质 1．二项式系数的性质 (1)杨辉三角——二项式系数表 当n依次取1,2,3,时，观察的展开式的二项式系数： 从中我们可以看出，左侧三角是根据二项式定理得到的，右侧三角是算出对应的组合数的值后所得结 果，由此我们可以发现以下性质： ①每一行中的二项式系数是对称的，如第一项与最后一项的二项式系数相等，第二项与倒数第二项的 二项式系数相等. ②每一行两端都是1，而且从第二行起，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和. ③从第二行起，每一行的二项式系数从两端向中间逐渐增大. ④第一行的两个数之和为2=，第二行的三个数之和为4=，，第六行的各数之和为，， 第n行的(n+1)个数之和为. (2)二项式系数的性质 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即) 增减性 当时，二项式系数逐渐增大；当时，二项式系数逐渐减小，因此二项式系数在中间取得最大值 最大值 当n是偶数时，展开式的中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，展开式的中间两项与的二项式系数，相等且最大 各二项式 系数的和 2.两个二项式之积、三项展开式问题 (1)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解， 但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解. (2)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解. 3.二项式系数的最值问题的求法： 二项式系数最大项的确定方法：当n为偶数时，展开式中第项的二项式系数最大，最大值为； 当n为奇数时，展开式中第项和第项的二项式系数最大，最大值为或. 【考点4 用赋值法求系数和问题】 【例4.1】（22-23高二下·广东佛山·阶段练习）已知，则（    ） A． B．1 C． D．0 【例4.2】（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（2023·陕西安康·二模）已知，则的值