7.1.1数系的扩充和复数的概念教学设计-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

教学设计 学校名称 课例名称 《数系的扩充和复数的概念》 教师姓名 学段学科 高中数学 教材版本 人教A版 章节 第七章第一节 年级 高一 教学目标 1.了解复数系的扩充过程； 2.理解复数的有关概念； 3.学会对复数进行分类； 4.理解复数相等的充要条件； 5.培养学生类比、转化等思想方法，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算素养. 教学重难点 重点：复数的概念，代数形式. 难点：复数的扩充过程. 学情分析 1.认知基础 （1）学生的知识储备：已学习自然数集、整数集、有理数集和实数集及其性质，能在特定数集上熟练解决一元一次方程；已有一定的从特殊到一般的思想方法的经验，有利于自主形成复数的概念。 （2）学生的学习特点：高一阶段的学生求知欲强，对历史、社会充满好奇心，具有一定观察、分析、解决问题的能力，抽象思维能力处于迅速发展阶段，逻辑思维和推理能力初步形成。 2.认知困难 （1）对负数开平方带有不确定性，缺乏对负数开平方的条件的清晰认识； （2）对复数引入的实际意义、实际应用的理解。 教学过程 一、情景引入 问题1：从小到大，我们认识了各种各样的数，进入高中我们又学习了集合，你知道的数集有哪些？分别用什么符号表示？ 问题2：你能用集合关系符号把这些数集“串起来”吗？ 问题3 回顾从自然数系逐步到实数系的扩充过程，每一次数系扩充的主要原因是什么？分别解决了什么实际问题和数学问题？ 师生活动： 从满足社会发展需要的角度，教师以视频的形式简单回顾数系扩充的过程。 从解决数学内部矛盾的角度，通过在特定数集中求解方程回顾数系的扩充过程。 在自然数集有解吗？若无解，引入什么新数后有解？此时自然数集扩充为何数集？ 在整数集中有解吗？若无解，引入什么新数后有解？此时整数集扩充为何数集？ 在有理数集中有解吗？若无解，引入什么新数后有解？此时有理数集扩充为何数集？ 【设计意图】通过回顾数的发展过程，使学生体会到现实生产生活对数学发展的推动作用，体会方程与数的发展的联系，激发学生对数系扩充的兴趣. 二、探究新知 在实数数集中有解吗？若无解，是不是可以引入一个新数后有解？ 【设计意图】让学生类比从自然数集到实数集的扩充过程，自然地引导学生从解方程的角度出发探究数系的扩充，使“新数i”的添加变得水到渠成,积累研究数学问题的经验. 师生活动：教师进行数学史介绍 在1777年，欧拉在《微分公式》一文中首创了用“imaginary”（想象的、假想的）的首字母i作为虚数的单位，本意是这个数是虚幻的，规定了i2=-1. 【设计意图】介绍与虚数单位i有关的历史，强化学生对i的认识. 问题4：把实数系扩充之后，得到的新数系由哪些数组成呢？ 你能否写出一个代数形式，把刚刚的数都包含在内？ 【设计意图】引导学生根据运算法则和运算律，抽象出复数的代数形式，培养学生数学抽象和逻辑推理等核心素养. 师生活动： 教师讲授： (1)复数的定义 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，规定i2=-1. (2)复数集 全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集． (3)复数的表示方法 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部． 例1：指出复数的实部与虚部。 【设计意图】通过此题让学生深化对复数概念的理解，同时为复数的分类做准备。 问题5：实数集与扩充后复数集是什么关系呢？ 问题6：你能对复数a+bi(a，b∈R)进行分类，并用韦恩图表示它们之间的关系吗？ 预设答案： 师生活动：学生进行小组讨论，并完成作图。教师展示小组成果，并进行点评。 【设计意图】学生通过讨论自然而然地想到要对复数进行分类，从而深化对复数概念的理解。 例2实数m取什么值时，复数z=m+1+(m-1）i是 （1） 实数（2）虚数（3）纯虚数 练习：当m为何实数时，复数z＝m(m+1)＋(m2－1)i是 （1)虚数（2）纯虚数 问题7：什么时候能判断两个复数是否相等呢？若=，=c+di，你们能说说什么时候=吗？ 预设回答：=c，=d 小结：每个复数都可以由实部和虚部这两个实数唯一确定 规定：在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)， a＋bi与c＋di相等当且仅当a=c且b=d． 问题8: 实数可以比较大小复数可以比大小吗？ 教师引导学生总结出复数只能说相等或不相等，而只有当两个复数都是实数时才能比较大小，否则，不能比较大小. 例3： 求适合下列方程的实数x与y的值: (x+y)+(x-2y)i=(2x-5)+(3x+y)i 练习： 若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求实数x，y的值. 如果(m2-1)+(m2-2m)