9.4矩形、菱形、正方形（之矩形讲义）2023-2024学年苏科版数学八年级下册

9.4矩形、菱形、正方形 （之矩形讲义） 知识梳理： 【知识点一】矩形的性质 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 矩形的性质： （1）矩形具有平行四边形的所有性质； （2）矩形的四个角都是直角； （3）对角线互相平分且相等； （4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形。矩形的对称中心是矩形对角线的交点；矩形有两条对称轴，矩形的对称轴是过矩形对边中点的直线；矩形的对称轴过矩形的对称中心。 【知识点二】矩形的判定 （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有三个角是直角的四边形是矩形。 典型例题： 【例1】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，点E在边BC上，且BE＝1，若EA平分∠BED，则AD的长是（　　） A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 【答案】B 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝3， ∴∠C＝90°，AD＝BC，AB＝DC＝3，AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∵EA平分∠BED， ∴∠AEB＝∠AEF， ∴∠AEF＝∠DAE， ∴AD＝DE， 设AD＝BC＝x，则CE＝x﹣1， ∵CE2+CD2＝DE2， ∴（x﹣1）2+32＝x2， ∴x＝5， ∴AD＝5， 故选：B． 【例2】如图，矩形的对角线与相交于点，，，则的值为______． 【答案】6 【详解】解：四边形是矩形， ，， 在中，，， ， ， ． 故答案为：6． 【例3】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发沿AC方向运动，点F同时以每秒1个单位长度的速度从点C出发沿CA方向运动，若AC＝12，BD＝8，则经过 　　秒后，四边形BEDF是矩形． 【答案】2或10． 【详解】解：设运动的时间为t秒， ∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，BD＝8， ∴OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝4，， ∵AE＝CF＝t， ∴OE＝OF＝6﹣t或OE＝OF＝t﹣6， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∴当EF＝BD时，四边形BEDF是矩形， ∴OE＝OD， ∴6﹣t＝4或t﹣6＝4， ∴t＝2或t＝10， ∴经过2秒或10秒，四边形BEDF是矩形， 故答案为：2或10． 【例4】如图，在矩形中，是对角线，、分别平分、，交边、于点、． (1)若，，求的长． (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【解析】（1）由已知可求得的长及，由勾股定理求得的长，再由含30度角直角三角形的性质即可求得结果； （2）由矩形的性质及角平分线的意义易得，从而问题解决． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， ，， ； 平分， ， ， ∴； 由勾股定理得， ； （2）证明：四边形是矩形， ，，， ， 、分别平分、， ，， ， ， ． 举一反三： 一、选择题（共5题） 1.（2023·上海·统考中考真题）在四边形中，．下列说法能使四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 2.（2023上·陕西渭南·九年级统考阶段练习）如图，用一根绳子检查一平行四边形书架是否是矩形，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线、就可以判断，其推理依据是（    ） A．邻边相等的平行四边形是矩形 B．平行四边形的对角线互相平分 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 3.（2022秋·江苏苏州·八年级校考期中）如图，矩形中，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作到交数轴的正半轴于M，则点M，在数轴上表示的数为（     ） A．2 B． C． D． 4.（2023下·浙江丽水·八年级期末）如图，在矩形中，，，点是的中点，连结，将沿折叠，点落在点处，连结，则的长是（    ） A． B． C． D． 5.（2023上·广东佛山·九年级校联考期中）我们在学习直角三角形斜边的中线定理时，小明同学证明的过程有点缺失，你能帮他找回缺失的部分吗？已知：在中，，O是的中点，求证：．证明：如图，延长至点，使，连接．… ∴，∴．下面是“…”部分被打乱顺序的证明过程： ①∴四边形是平行四边形； ②∵；③∵，；④∴四边形是矩形． 则正确的顺序为（    ）    A．③①②④ B．③②①④ C．②③①④ D．②①③④ 二、填空题（共5题） 6.（2023·湖南郴州·统考中考真题）在中，，则边上的中线 ． 7.（2022春·江苏宿迁·八年级统考期中）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作交AD于点E，若，，则DE的长为______． 8.（2023上·江苏盐城·八年级校联考期中）如图，一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件