第17章 一元二次方程 复习课件 2023--2024学年沪科版八年级数学下册

复习专题： 一元二次方程 一：概念 1.一般形式： ax²+bx+c=0 （a≠0） 2.求根公式： 观察公式的特征，我们发现：系数a,b,c的值不仅决定了方程根的情况，还反映了根与系数之间的联系。 3.韦达定理： ①只含有一个未知数 ②未知数最高次数是2 ③必须是整式方程 二：解法 1.直接开平方法 2.配方法 3.公式法 4.因式分解法 5.换元法 6.十字相乘法 （内含超链接） 二：解法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。 直接开平方法适用于解形如 的一元二次方程，根据平方根的定义可知，x+a 是b的平方根，当 时， ；当b<0时，方程没有实数根。 1、直接开平方法 二：解法 2、配方法 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。 配方法的理论根据是完全平方公式 ，把公式中的a看做未知数x，并用x代替 (1)x2+8x-9=0 解： （2） 二：解法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程的求根公式： 3.公式法 二：解法 4.因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 解：分解因式、得， 于是，得 解得 二：解法 5.换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，通常把未知数或变数称为元。所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的“元”去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，从而解决问题。 （x-√3-1）（x-√3-2）=2 注意到方程左边的两个因式，它们都含有x-√3，因此，我们可以以x-√3为“元”进行换元，即设x-√3=y， 则原方程化为(y-1)(y-2)=2 整理得：y^2-3y=0，y（y-3）=0，所以y=0或y=3 当y=0时，x-√3=0，x=√3 当y=3时，x-√3=3，x=3+√3 故x1=√3，x2=3+√3 6.十字相乘法 二：解法 十字相乘法解一元二次方程：十字相乘法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。需注意：十字相乘法本质是一种简化方程的形式，它能把二次三项式分解因式，但是要务必注意各项系数的符号。十字相乘法的方法:十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。十字相乘法的用处:用十字相乘法来分解因式。用十字相乘法来解一元二次方程。十字相乘法的优点:用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。十字相乘法的缺陷:有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。 三：应用 2.当m取何值时，下列方程为一元二次方程？ 1.请指出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数 ①3x²+5x-8=0 ③x²-5=0 ②2x²-3x=0 ④x²=x-1 ⑤x(x-3)=0 ⑥x(x+1)=2x 在确定一元二次方程各项系数时，首先把一元二次方程转化成一般形式，指出一元二次方程的各项系数时，一定要带上前面的符号。 根据一元二次方程的概念求字母的值考虑二次项的系数（a≠0）及次数 （未知数最高次数为2） 三：应用 3.不解方程，求下列方程两个根的和与积（两根为x1,x2） x2+7x+6=0 4.已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值 三：应用 5.类型：已知两根求方程或已知两数之和与积，求这两个数 （1）求一个一元二次方程，使它的两个根是3，-5 （2）已知两个数的和等于8，积等于-9，求这两个数 解析：设该方程为x2+px+q=0 则p=-(3-5)=2,q=3×(-5)=-15 ∴该方程为x2+2x-15=0 解析：设以这两个数为根的一元二次方程方程为x2+px+q=0 则p=-8,q=-9 ∴该方程为x2-8x-9=0 解得x1=9,x2=-1 ∴这两个数为9,-1 三：应用 6.某次同学聚会，聚会的每两位同学都相互握一次手，经过统计，一共 握了66次手，那么参加聚会的同学有多少人？ 整理得 x2-x-132=0 解得 x1=12, x2=-11(不合题意，舍去) 答：参加聚会的同学有12人. 解：设参加聚会的同学有x人,由题意得 三：应用 7.有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患 了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 8.（变式训练）