专题6.2 排列与组合（4知识点+16考点）-2023-2024学年高二数学知识•考点培优讲义（人教A版2019选择性必修第三册）

专题6.2 排列与组合 知识点一 排列、排列数与排列数公式 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 排列数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示 排列数公式 A＝n(n－1)…(n－m＋1)，这里n，m∈N＋，并且m≤n 知识点二 全排列、阶乘的概念及相关性质 1.(1)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列． (2)n的阶乘：正整数由1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示． (3)阶乘的相关应用： ①规定：0！＝1； ②排列数公式的另一种形式：A＝． 2．排列数的性质 ①A＝nA；　②A＝mA＋A． 知识点三 组合、组合数的概念 (1)组合的概念． 一般地，从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合． (2)组合数的概念． 从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号C表示． 知识点四 组合数公式及其性质 (1)公式：C＝＝． (2)性质：C＝C，C＝C＋C． (3)规定：C＝1． 考点01 排列、组合的意义 【典例01】【多选题】（23-24高二下·江苏·课前预习）下列问题是组合问题的有（　　） A．设集合，则集合A的含有3个元素的子集有多少个 B．某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种票价 C．3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法 D．把3本相同的书分给5个学生，每人最多分得1本，有几种分配方法 【典例02】（23-24高二上·上海·课时练习）判断下列问题分别是排列问题还是组合问题： (1)从10名学生中任选5名去参观一个展览会，求有多少种不同的选法； (2)从1、2、3、4、5这5个数字中，每次任取2个不同的数作为一个点的坐标，求所有不同点的个数； (3)一个黄袋中装有四张分别写有1、3、5、7的卡片，另一个红袋中装有四张分别写有2、8、16、32的卡片．从红袋和黄袋中各任取一张卡片，问这两张卡片上的数相加所得的和有多少种； (4)有四本不同的书要分别送给四个人，每人一本，问一共有多少种不同的送法． 【总结提升】 1.确定一个具体问题是否为排列问题： (1)首先要保证元素的无重复性，即是从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，否则不是排列问题． (2)其次要保证元素的有序性，即安排这m个元素时是有顺序的，有序的就是排列，无序的不是排列．而检验它是否有顺序的依据是变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序． 2.判断一个问题是否为组合问题： 区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标准是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题． 考点02 排列数、组合数的计算 【典例03】（2024·福建漳州·模拟预测）（    ） A．65 B．160 C．165 D．210 【典例04】（23-24高二下·江苏·课前预习）（1）计算：；（2）计算：. 【总结提升】 1. 排列数的计算： (1)连续正整数的乘积可以写成某个排列数，其中最大的数是排列元素的总个数，这是排列数公式的逆用． (2)应用排列数公式的两种形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样做往往能减少运算量． 2.性质“C＝C”的作用：． 考点03 排列数、组合数恒等式的证明 【典例05】（21-22高二·全国·课时练习）求证：（、为大于1的自然数）． 【典例06】（23-24高二上·上海·课时练习）已知m是自然数，n是正整数，且．求证： (1)； (2)． 【总结提升】 (1)对于含组合数的化简、证明或解方程、不等式等问题多利用： ①组合数公式，即： C＝＝； ②组合数的性质，即C＝C和C＝C＋C； ③排列数与组合数的关系，即A＝CA． (2)当含有字母的组合数的式子要进行变形论证时，利用阶乘公式往往较为方便． 考点04 含排列数、组合数的方程、不等式 【典例07】（22-23高二下·浙江宁波·阶段练习）（1）若，则x= . （2）不等式的解集为 . 【典例08】（22-23高二下·山东滨州·期中）（1）解不等式． （2）若，求正整数n． 【总结提升】 1.根据有关公式把已知中给出的不等式转化为代数不等式，注意把握好未知数的取值范围． 2.充分利用组合数公式及其性质化简解题，并注意隐含的限制条件． 考点05 全排列应用问题