18.2.3 正方形讲义 2023-2024学年人教版数学八年级下册

►第十八章 平行四边形 18.2.3 正方形 ■重点01 正方形的性质 【例题】（2023秋•西安期末）如图，在边长为6的正方形中，是对角线上一点，作于点，连接，若．则的长为　　 A． B． C．4 D．2.5 【答案】 【分析】由正方形的性质得，从而得出，所以，再利用勾股定理求解即可． 【解答】解：边长为6的正方形， ，， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理，得． 故选：． 解法揭秘 正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，正方形的四个角都是直角，四条边都相等，正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． 闯关演练 【闯关1】　（2024•九龙坡区校级开学）如图，在正方形中，，点是延长线上一点，，，则线段的长是　　 A． B． C． D． 【闯关2】　（2023秋•周村区期末）如图，边长为5的大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，连结并延长交于点．若，则的长为　　 A． B． C．1 D． 【闯关3】　（2023秋•禅城区期末）如图所示，在正方形中，是对角线上的一点．连接，且，则的度数是　　 A． B． C． D． 【闯关4】　（2023秋•榆阳区校级期末）如图，正方形的边长为10，且，，则的长为　　 A．2 B． C． D． 【闯关5】　（2023秋•万州区期末）如图，在正方形中，为上一点，连接，于点，连接，设，若，则一定等于　　 A． B． C． D． ■重点02 正方形的判定 【例题】（2023秋•埇桥区校级月考）如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，在对角线上，且，． 求证：四边形是正方形． 【答案】见解析． 【分析】先证明四边形是菱形，根据正方形的判定定理即可得出结论． 【解答】证明：四边形是菱形， ，，， ， ， 四边形是菱形， ， ， 四边形是正方形． 解法揭秘 （1）根据正方形的定义． （2）有一组邻边相等的矩形是正方形． （3）有一个角是直角的菱形是正方形． （4）对角线互相垂直的矩形是正方形． （5）对角线相等的菱形是正方形． （6）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形． （7）对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形． （8）既是矩形又是菱形的四边形是正方形． 闯关演练 【闯关6】　（2023秋•秦都区期末）已知菱形中对角线、相交于点，添加条件　 　可使菱形成为正方形． 【闯关7】　（2023秋•西安期末）如图，已知在中，，，点为的中点，过点向右作，且，连接，求证：四边形是正方形． 【闯关8】　（2023秋•太原期末）如图，已知矩形 中， 和 的平分线交于边上一点．点为矩形外一点，四边形为平行四边形．求证：四边形是正方形． 【闯关9】　（2023•韩城市二模）如图所示，在中，，平分，于，于，求证：四边形是正方形． 【闯关10】　（2022春•吉林期末）已知：如图，在矩形中，、分别是边、上的点，，且． 求证：矩形是正方形． ■重点03 正方形的性质与判定综合 【例题】（2023春•商水县期末）如图，在正方形中，是对角线，于点，于点，于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，求正方形的面积． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）4． 【分析】（1）首先证得，得到，结合四边形是矩形，推导出四边形是正方形； （2）由正方形得到，，，又，，进而求得正方形的面积． 【解答】（1）证明：四边形是正方形， ． ， ， ，， ， ， ． ， 四边形是矩形． ， 四边形是正方形． （2）解：四边形是正方形， ，． ， ． 四边形是正方形， ， ， ． 解法揭秘 在判断一个四边形是哪种特殊四边形时，要分层次进行，首先判断该四边形是不是平行四边形，在此基础上，再判断是不是矩形或菱形，最后考虑是不是正方形． 闯关演练 【闯关11】　（2023春•石阡县期中）如图，在正方形中，，为对角线上一动点，连接，过点作，交于点．以，为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形； （2）求的值． 【闯关12】　（2023春•河东区期末）已知：四边形为正方形，为对角线上一点，连接，．过点作，交边于点，以，为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形； （2）若正方形的边长为9，，求正方形的边长． 【闯关13】　（2023春•溧阳市期中）如图1，在矩形中，的平分线交对角线于点，交边于点，，，垂足分别为、． （1）求证：四边形是正方形； （2）如图2，过点作，若，，求四边形的面积． 【闯关14】　（2022春•桂林期末）如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点，与交于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，求证：； （3）在（2）的条件下，已知，求的长． 【闯关15】　（2022春•乳山市期中）如图，是矩形内一点，