18.2.2 菱形讲义 2023—2024学年人教版数学八年级下册

►第十八章 平行四边形 18.2.2 菱形 ■重点01 利用菱形的性质进行计算和证明 【例题】（2023秋•扶风县期中）如图所示，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，垂足为，连接，求度数． 【答案】． 【分析】根据菱形的性质求出，再根据垂直平分线的性质得出，从而证明，计算出的值． 【解答】解：连结， 四边形是菱形，， ，，，， ， 的垂直平分线交对角线于点， ， ， ， ，，， ， ． 解法揭秘 1．利用菱形的性质进行计算时，主要应用以下性质： （1）菱形具有平行四边形的所有性质． （2）菱形的四条边都相等． （3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． （4）菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线即是它的对称轴． 2．菱形的对角线有独有的特征，因此也有独特的面积求法，能够考查学生的几何抽象能力和实际应用能力，是中考考查的热点题型． 闯关演练 【闯关1】　（2023秋•遵义期末）如图，四边形为菱形，对角线，交于点，，垂足为．若，，则的长是　　 A． B． C． D． 【闯关2】　（2024•碑林区校级一模）如图，在中，，，点、分别是、的中点，连接、．若四边形为菱形，则的面积为　　 A．7.5 B．9.6 C．12 D．15 【闯关3】　（2023秋•扶绥县期末）如图，在菱形中，是的中点，，交于点，如果，那么菱形的周长为　　 A．12 B．20 C．24 D．22 【闯关4】　（2023秋•福山区期末）如图，点，分别是菱形边，的中点，交的延长线于点．若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【闯关5】　（2023•黄埔区一模）如图，菱形中，过点分别作边，上的高，，求证：． ■重点02 利用菱形的性质求最值 【例题】（2023•高新区校级四模）如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连结，，，分别为，的中点，连结．若，，则的最小值为　　 A． B． C．2 D．3 【答案】 【分析】连接，利用三角形中位线定理，可知，求出的最小值即可解决问题． 【解答】解：连接，如图所示： 四边形是菱形， ， ，分别为，的中点， 是的中位线， ， 当时，最小，得到最小值， 则， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即的最小值为， 故选：． 解法揭秘 同一对角线同侧的两条线段之和的最小值问题→同一对角线两侧的两条线段之和的最小值问题→两点之间线段最短或两平行线之间的距离最短→求最小值． 闯关演练 【闯关6】　（2023春•遵义期末）如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【闯关7】　（2023春•常州期末）如图，在菱形中，，，点、分别在边、上，且，则的最小值是　　 A．2 B．3 C． D． 【闯关8】　（2023•安庆模拟）如图，菱形的对角线长度为4，边长，为菱形外一个动点，满足，为中点，连接．则当运动的过程中，长度的最大值为　　 A． B． C．1 D．2 【闯关9】　（2023•旌阳区二模）如图，菱形的边长为8，，点，分别是，边上的动点，且，过点作于点，连接，则长的最小值是　　 A． B． C． D． 【闯关10】　（2023秋•乐平市校级月考）如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点、连接．若，，则的最小值是 　　． ■重点03 菱形的判定 【例题】（2023春•长顺县期末）如图，在平行四边形中，是对角线上的一点．连接，，，，求证：四边形是菱形． 【答案】见解析过程． 【分析】由“”可证，可得，由菱形的判定可得结论． 【解答】证明：在和中， ， ， 又四边形是平行四边形， 四边形是菱形． 解法揭秘 闯关演练 【闯关11】　（2023秋•镇雄县期末）在四边形中，，．下列说法能使四边形为菱形的是　　 A． B． C． D． 【闯关12】　（2023秋•顺德区校级月考）如图，在中，、相交于点，要使是菱形，添加下列条件能判定是菱形的是　　 A． B． C． D． 【闯关13】　（2024•宜昌模拟）如图，，平分，且交于点，过点作交于点．求证：四边形是菱形． 【闯关14】　（2023秋•锦州期末）如图，在中，点，分别在，上，连接，，，若，．求证：四边形是菱形． 【闯关15】　（2023秋•扶风县期中）如图，在中，，平分交于点，点在线段上，点在的延长线上，且，连接，，，．求证：四边形是菱形． ■难点01 菱形中的探究性问题和开放性问题 【例题】（2021•市南区二模）已知：如图，在中，，的平分线交于点，是的中点，过作，交的延长线于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）和满足什么数量关系时，四边形是菱形．请证明你的结论． 【答案】（1）证明过程见解析； （