17.1 勾股定理 讲义 2023-2024学年人教版八年级数学下册

►第十七章 勾股定理 17.1 勾股定理 ■重点01 利用勾股定理求线段长 【例题】（2023秋•临淄区期末）如图，在中，，，，于点，是的中点，则的长为　　 A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9 【答案】 【分析】由勾股定理求出长，由三角形面积公式求出长，由勾股定理求出长，由线段中点定义求出长，即可得到． 【解答】解：，，， ， 于点， 的面积， ， ， ， 是的中点， ， ． 故选：． 解法揭秘 已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先明确所求边是斜边还是直角边，再决定用勾股定理的原式还是变式． 闯关演练 【闯关1】　（2023秋•洛阳期末）在中，，，则　　 A．3 B．1 C． D．或3 【闯关2】　（2023秋•碑林区校级期末）如图，在中，过点作的垂线交的延长线于点，已知，，，则的长度为　　 A．15 B．16 C．18 D．20 【闯关3】　（2023秋•金东区期末）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连结．若，，则的长为　　 A．2 B． C．3 D． 【闯关4】　（2023秋•沂源县期末）如图．在中，，，点为的中点，，垂足为点，则等于　　 A． B． C． D． 【闯关5】　（2023秋•东河区期末）如图所示，在中，平分，平分，且，交于点，若，则等于　　 A．166 B．186 C．196 D．256 ■重点02 利用勾股定理求图形的面积 【例题】（2023秋•新野县期末）四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，的面积为　　 A． B． C．或 D．15 【答案】 【分析】分、两种情况讨论． 【解答】解：当时， 过作，交于点， ， ， ， 由勾股定理，， ， 当时， 不满足小于， 此种情况不存在， 故选：． 解法揭秘 根据各图形间的边长关系，结合勾股定理得到线段的平方的关系，利用线段平方与所求图形面积间的关系求图形面积． 闯关演练 【闯关6】　（2023秋•兴平市期末）如图、在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为　　 A．6 B． C．5 D． 【闯关7】　（2023秋•广平县期末）以直角三角形的三边为边做正方形，三个正方形的面积如图所示，正方形的面积为　　 A．6 B．36 C．64 D．8 【闯关8】　（2023秋•鼓楼区校级期末）数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以的三条边为边长向外作正方形，正方形，正方形，连接．若，，则的面积为　　 A．40 B．32 C．24 D．18 【闯关9】　（2023秋•南关区期末）如图，在，，分别以三边为直径向上作三个半圆．若，，则阴影部分图形的面积为 　　． 【闯关10】　（2023秋•建邺区期末）如图，以的两边，为边向外所作正方形的面积分别是，，则以另一边为直径向外作半圆的面积为 　　． ■难点01 勾股定理与图形面积 【例题】（2023秋•苏州期中）勾股定理是一个基本的几何定理，又称为勾股弦定理、勾股定律等，由中国人商高在周朝时期最早提出，我国东汉数学家赵爽通过四个全等直角三角形构造图形，证明出勾股定理，称为赵爽弦图，其中，，． （1）请同学们根据赵爽弦图证明； （2）若正方形的面积为100，正方形的面积为36，求的值． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【分析】（1）根据面积公式证明勾股定理即可； （2）根据面积公式和勾股定理解得即可． 【解答】（1）证明：大正方形的面积是，直角三角形的面积是，小正方形的面积为， ， 即； （2）解：由正方形的面积是100，得， 解得：， 由正方形的面积为36，得， 一个直角三角形面积为：， 解得：， ， 则， 故． 解法揭秘 勾股定理的证明是通过拼图法或割补法完成的，探索时利用面积关系，将“形”的问题转化为“数”的问题． 闯关演练 【闯关11】　（2023秋•邹平市期末）下面图形能够验证勾股定理的有　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【闯关12】　（2023秋•商水县期末）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是　　 A． B． C． D． 【闯关13】　（2023秋•兴隆县期末）在学习勾股定理时，甲同学用四个相同的直角三角形（直角边长分别为，，斜边长为构成如图所示的正方形；乙同学用边长分别为，的两个正方形和长为，宽为的两个长方形构成如图所示的正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是　　 A．甲 B．乙 C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以 【闯关14】　（2023秋•紫金县期末）如图，为上一点，，，，，交于点，且． （1）判断线