16.3 二次根式的加减讲义 2023—2024学年人教版数学八年级下册

►第十六章 二次根式 16.3 二次根式的加减 ■重点01 可以合并的二次根式 【例题】（2023秋•莲池区校级期中）若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则的值为　　 A．5 B． C． D． 【答案】 【分析】根据一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式列出方程求解即可． 【解答】解：根据题意得：， 解得：． 故选：． 解法揭秘 判断几个二次根式在加减运算中是否可以合并，一定要先看它们是不是最简二次根式． 如果两个二次根式能够合并，那么化为最简二次根式后，被开方数一定相等． 注意：判断被开方数相同的二次根式是以化为最简二次根式为前提的，是过化简来判断化简前的二次根式是不是被开方数相同的二次根式． 闯关演练 【闯关1】　（2023秋•蓝田县期中）已知最简二次根式与可以合并，求的值． 【闯关2】　（2023秋•榆阳区校级期中）如果最简二次根式与能够合并，求的值． 【闯关3】　（2023秋•横山区月考）已知是最简二次根式，且与可以合并，求的值． 【闯关4】　（2022春•宁江区校级期末）若最简二次根式与是可以合并的二次根式，求的值． 【闯关5】　（2022秋•高陵区期中）若最简二次根式与是可以合并的二次根式，求的值． ■重点02 二次根式的加减运算 【例题】计算的值是　　 A．2 B．3 C． D． 【答案】 【分析】原式合并同类二次根式即可得到结果． 【解答】解：原式， 故选：． 解法揭秘 二次根式的加减运算的实质就是合并被开方数相同的二次根式． 闯关演练 【闯关6】　（2023秋•道外区期末）计算　　． 【闯关7】　（2023秋•道里区期末）计算的结果是 　　． 【闯关8】　（2023秋•双阳区期末）计算． 【闯关9】　（2023秋•二道区期末）计算：． 【闯关10】　（2023秋•朝阳区期末）计算：． ■重点03 二次根式的混合运算 【例题】（2023秋•盘山县期末）计算：． 【答案】 【分析】先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可． 【解答】解：原式 ． 解法揭秘 在进行二次根式的计算时，能用公式的要尽量使用公式，有时还需要灵活运用公式和逆用公式，这样可以使计算过程大大简化． 闯关演练 【闯关11】　（2023秋•福田区校级期末）计算： （1）； （2）． 【闯关12】　（2023秋•静安区校级期末）计算：． 【闯关13】　（2023秋•宝山区期末）计算：． 【闯关14】　（2023秋•长宁区校级期末）计算：． 【闯关15】　（2023秋•松江区期末）计算：． ■重点04 二次根式的化简求值 【例题】（2023秋•河北区校级期末）若． （1）化简、； （2）求． 【答案】15． 【分析】根据分母有理化分别把、化简，把原式利用完全平方公式变形，代入计算即可． 【解答】解：，， 则，， 原式． 解法揭秘 1．二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 2．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 闯关演练 【闯关16】　（2023•鼓楼区校级自主招生）若，则　　． 【闯关17】　（2022秋•新田县期末）已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 【闯关18】　（2023秋•兴文县期中）已知，． （1）化简； （2）求的值． 【闯关19】　（2023•徐汇区校级自主招生）已知，求． 【闯关20】　（2023秋•长宁区校级期中）当，化简代数式，并求值． ■难点01 二次根式的应用 【例题】（2023秋•商水县月考）如图，矩形内两相邻正方形的面积分别为12和2，求阴影部分的面积． 【答案】． 【分析】根据两个正方形的面积求出各自的边长，即可确定出阴影部分即可． 【解答】解：因为大正方形的面积为12，所以边长为， 因为小正方形的面积为2，所以边长为， 故阴影部分的面积． 答：阴影部分的面积为． 解法揭秘 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 闯关演练 【闯关21】　（2023秋•社旗县期中）有一块长方形木板，木工采用如图的方式在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． （1）求剩余木料的面积； （2）如果木工想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出　　块这样的木条． 【闯关22】　（2023•晋城模拟）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常