四川省凉山州民族中学2023-2024学年高二下学期数学第四周考试试卷

高二下期第四周考试试题 一、单选题 1．设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 2．设，则（    ） A．-1 B．0          · C．1 D．2 3．正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 4．已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 二、多选题 5．已知函数的图像关于点中心对称，则（    ） A．在区间单调递减 B．在区间有两个极值点 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线 6．已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（    ） A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 三、填空题 7．若函数在区间上单调递增，则的取值范围为 ． 8．今年哈尔滨冰雪旅游格外火爆，哈尔滨市某公园为欢迎往来游客，设计了一个卡通雪人，雪人放置在上底边长为3m，下底边长为4m，高为1m的正四棱台冰雕底座上，那么冰雕底座需要 立方米水制成．（制作过程的损耗忽略不计，冰和水均为理想状态，，） 三、解答题 9．已知为等差数列，公差，且、、成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，证明：． 10．为庆祝神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，某学校开展了航天知识竞赛活动，共有100人参加了这次竞赛，已知所有参赛学生的成绩均位于区间，将他们的成绩（满分100分）分成五组，依次为、、、、，制成如图所示的频率分布直方图.    (1)求出的值，并用各区间的中间值估计这100人的竞赛成绩的平均数； (2)采用按比例分配的分层抽样的方法，从竞赛成绩在（即第四、五组内）的学生中抽取了12人作为航天知识宣讲使者.现从这12名使者中随机抽取1人作为组长，求这名组长的竞赛成绩在内的概率. 11．已知双曲线：，点的坐标为 ． (1)设直线 过点，斜率为，它与双曲线交于、两点，求线段的长； (2)设点在双曲线上，是点关于轴的对称点．记，求的取值范围． 12．如图，在四棱锥中，与交于点，平面，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 参考答案： 1．B 【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解. 【详解】当时，例如但， 即推不出； 当时，， 即能推出. 综上可知，甲是乙的必要不充分条件. 故选：B 2．C 【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出． 【详解】因为， 所以，解得：． 故选：C. 3．B 【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解. 【详解】方法一：以为基底向量，可知， 则， 所以； 方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系， 则，可得， 所以； 方法三：由题意可得：， 在中，由余弦定理可得， 所以. 故选：B. 4．D 【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出． 【详解】因为，而为锐角， 解得：． 故选：D． 5．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列的通项公式及等比中项的性质求出，即可得解； （2）由（1）可得，利用裂项相消法求和即可得证. 【详解】（1）依题意，， 又、、成等比数列， 所以，即，解得， 所以. （2）由（1）可得， 所以 . 6．(1)，73.5 (2) 【分析】（1）由频率之和为解，由频率分布直方图中平均数的估计方法求解平均数即可； （2）先由分层抽样的方法确定每层的人数，然后由古典概率公式计算概率即可. 【详解】（1）由，解得； 这100人的竞赛成绩的平均数估计为： . （2）成绩在的频率为0.25，成绩在的频率为0.05， 所以竞赛成绩在，两个组的人数之比为， 采用分层抽样的方法从中抽取人， 所以成绩在抽得的人数为人， 成绩在抽得的人数为人. 现从这12名使者中随机抽取1人作为组长， 则这名组长的竞赛成绩在内的概率为. 7．(1) (2) 【分析】（1）联立直线与双曲线方程，根据弦长公式即可求解， （2）根据向量数量积的坐标运算，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）直线的方程为． 由方程组得． 设,则， ． （2）设点，则点的坐标为． ，， ． 因为，所以． 8．(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）根据余弦定理、勾股定理，结合线面垂直的判定定理和性质进行证明即可； （2）结合（1）中的结论，建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）设，所以，