考点01 平面向量的概念及其线性运算6种常见考法归类-2023-2024学年高一数学专题训练与解题方法(人教A版2019必修第二册)

考点01 平面向量的概念及其线性运算6种常见考法归类 2023-2024学年高一数学专题训练与解题方法(人教A版2019必修第二册) 考点一 平面向量的有关概念 （一）向量与数量的辨析 （二）向量的有关概念 （三）平面向量的几何表示 （四）相等向量与共线向量 考点二 平面向量的加、减法及数乘运算 （一）平面向量的加法 （二）平面向量的减法 （三）向量的三角不等式 （四）平面向量的数乘运算 （五）向量的模 考点三 共线向量定理的应用 （一）判断向量共线 （二）三点共线问题 （三）判断点所在的位置 （四）利用向量共线求参数 考点四 向量的线性表示 （一）用已知向量表示所求向量 （二）根据线性运算求参数 （三）平面向量的线段比例问题 考点五 由平面向量的性质判断图形的形状 考点六 利用向量的线性运算解决实际问题 1．向量与数量的区别 (1)向量被赋予了几何意义，即向量是具有方向的，而数量是一个代数量，没有方向． (2)数量可以比较大小，而向量无法比较大小，即使|a|>|b|，也不能说a>b. (3)0与0不同.0表示数量，但0表示零向量，其中|0|＝0. 2．向量与有向线段 区别：从定义上看，向量有大小和方向两要素，而有向线段有起点、方向、长度三要素，因此这是两个不同的量． 联系：向量可以用有向线段表示，但这并不是说向量就是有向线段． 3．共线向量与相等向量 (1)共线向量的定义指的是非零向量的共线问题． (2)共线向量中的向量所在的直线可以平行，也可以重合，与平面几何中的“共线”“平行”不同． (3)相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量．共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同． 特别注意：(1)判断两个向量的关系：一要判断大小，二要判断方向，如遇上零向量，必须注意其方向的任意性． (2)定义中的零向量和单位向量都是只限制大小，没有确定方向．我们规定零向量的方向是任意的；单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同． 4．相等向量的判断方法 先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向的． 5．共线向量的判断方法 先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向或反向的向量． 6．相等向量与共线向量的区别与联系 相等向量一定是共线向量，而共线向量不一定相等．向量相等具备传递性，而向量的共线不具备传递性． 7.平面向量有关概念的四个关注点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性； (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关； (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆； (4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量． 8.向量的表示及应用 (1)作向量的思路 (2)理解位移的关键点 ①位移表示质点位置的变化，表示起点与终点间的位置关系，而与质点实际运动的路线无关．物理中的位移就是数学中的向量． ②从两个不同点出发的位移，只要方向相同，距离相等，我们就把它们看成相等的位移． 9．准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则 (1)两个法则的适用条件不同 三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和． (2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的． 如图所示，＝＋(平行四边形法则)，又因为＝，所以＝＋(三角形法则)． (3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”，这个方法可推广得到向量求和的多边形法则：＋＋＋…＋An－1An＝.特别地，当An和A1重合时，＋＋＋…＋＝0. 10．向量a＋b与非零向量a，b的模及方向的关系 (1)当a与b不共线时，a＋b的方向与a，b的方向都不相同，且|a＋b|＜|a|＋|b|. (2)当a与b同向时，a＋b，a，b的方向相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|. (3)当a与b反向时，若|a|＞|b|，则a＋b的方向与a的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|＜|b|，则a＋b的方向与b的方向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|；若|a|＝|b|，则a＋b为零向量． 11.非零向量a，b的差的三角不等式 (1)当a，b不共线时， 如图①，作＝a，＝b，则a－b＝－＝， 于是||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|. (2)当a，b共线且同向时， 若|a|>|b|，则a－b与a，b同向(如图②)， 于是|a－b|＝|a|－|b|. 若|a|<|b|，则a－b与a，b反向(如图③)， 于是|a－b|＝|b|－|a|. (3)当a，b共线且反向时，a－b与a同向，与b反向(如图④)． 于是|a－b|＝|a|＋|b|. 可见，对任意两个向量，总有向量不等式成立： ||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|. 12．用已知向量表示未知向量