函数与导数专题：指对幂比较大小讲义-2024届高三数学二轮复习

函数与导数专题：指对幂比较大小 预备知识 1.函数的单调性与其导数的关系 在某个区间内，如果______________，那么函数在这个区间内单调递增；如果______________，那么函数在这个区间内单调递减． 注意：在某个区间内，（）是函数在此区间内单调递增（减）的充分条件，而不是必要条件．函数在内单调递增（减）的充要条件是（）在内恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0． 2.利用导数求函数的单调区间的方法步骤： ① 确定函数的______________； ② 求__________________； ③ 解不等式，解集在定义域内的部分为__________区间； 解不等式，解集在定义域内的部分为___________区间． ④ 写出单调区间。 3.函数极值的概念 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附近的左侧______________，右侧______________，就把点叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值． 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，；而且在点附近的左侧______________，右侧______________，就把点叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值． 极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 4.函数极值的求法 一般地，求函数的极值时，解方程．当时： （1）如果在附近的左侧，右侧，那么是______________； （2）如果在附近的左侧，右侧，那么是______________． 5.可导函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件 必要条件：可导函数在处取得极值的必要条件是______________． 充分条件：可导函数在处取得极值的充分条件是在两侧异号． 知识点一 中间值比较大小 【基础知识框架】 1.临界值比较：选取适当的临界值（难点） （1）估算要比较大小的两个值所在的大致区间 （2）可以对区间使用二分法（或者利用指对转化）寻找合适的中间值 2.常见的指数对数特殊值点 ，，当时，递_______，当时，递_______； ，当时，递_______，当时，递_______. 【例题分析】 例1．（2023·福建·统考一模）设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 例2．（2021·陕西榆林·校考模拟预测）若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 例3．（2022·贵州·校联考模拟预测）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2022·青海西宁·校考模拟）设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·江西上饶·上饶一中模拟）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（2022·天津西青·杨柳青一中模拟）设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 知识点二 构造函数比较大小（同构函数） 【基础知识框架】 1.在某些函数方程、不等式问题中，可以通过等价变形，将方程或不等式变成左右两端结构一致的情形，进而构造函数，运用函数的单调性来解决问题，这种处理问题的方法叫做同构. 2.常见的构造方法 结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论（其中） （1） 且时，有 （2） 当 且时，有 （3） （4） （5） （6） 3.由引出的大小比较问题 由图像性质，有以下结论： （1）在区间上单调递_____，在区间单调递_______；当时，取得最____值_______； （2）极大值左偏， （3）关于与，当时，，当时，；口诀：大指小底。（大于看指数大，小于看底数大） 比较与，即比较与的大小，同除以得到与，根据函数的单调性，即可判断． 4.构造同构函数比较大小 ①将比较目标化为相同形式，同构; ②根据同构函数的单调性比较自变量大小，进而比较大小. 【例题分析】 例1.（2022商丘）设，，，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 例2.（2022赤峰）设，，，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 例3.（2022南京）设，，，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 例4.（2022宣城）设，，，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 例5.（2022揭阳）设，，，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 例6.（2022洛阳）设，，，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 例7.（2022哈尔滨）设，，，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 例8．（2022·苏州）已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 例9.（2022郑州）设，，，