6.3.2二项式系数的性质课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.3.2 二项式系数的性质 一、知识回顾 二项式定理 (a+b)n= an+ an-1b1+…+ an-kbk+…+ bn,n∈N* 右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式 各项的系数 (k=0、1、2,…、n)叫做二项式系数 式中的 an-kbk叫做二项展开式的通项,用Tk+1表示,即通项为展开式的第k+1项: Tk+1= an-kbk 注 意 ①二项展开式共有n+1项 ②各项中a的指数从n起依次减小1,到0为此; 各项中b的指数从0起依次增加1,到n为此. 计算(a+b)n的展开式的二项式系数,并填入下表你发现了什么规律? 二、探究新知 n (a+b)n的展开式的二项式系数 1 2 3 4 5 6 每一行中的系数具有对称性 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 二、探究新知 除每一行中的系数具有对称性,还有什么规律呢?为了便于发现规律,上表还可以写成如下图所示的形式. 表示形式的变化常常能帮助我们发现某些规律. (a+b)1 ‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧ 1 1 (a+b)2 ‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧ 1 2 1 (a+b)3 ‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧ 1 3 3 1 (a+b)4 ‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧ 1 4 6 4 1 (a+b)5 ‧‧‧‧‧‧‧‧‧ 1 5 10 10 5 1 (a+b)6 ‧‧‧‧‧ 1 6 15 20 15 6 1 观察上图,你还能发现哪些规律? 对于(a+b)n的展开式的二项式系数 , , ,… , , 我们还可以从函数的角度分析它们. 可看成以r为自变量的函数f(r),其 定义域是 {0,1,2,…,n}. 对于确定的n,我们还可以画出它的图象.例如,当n=6时,函数f(r)= (r∈{0,1,2,3,4,5,6})的图象是7个离散点,如右图所示. (1)观察上图,你发现了什么规律? (2请你分别画出n=7,8,9时函数f(r)= 的图象,比较它们的异同,你发现了什么规律? 分析前面的图,可以得到二项式系数的以下性质. 二、探究新知 你能用组合的意义解释一下这个“组合等式”吗? 1.对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. 事实上,这一性质可直接由 得到. 直线r= 将函数f(r)= 的图象分成对称的两部分,它是图 象的对称轴. 三、二项式系数的性质 2.增减性与最大值 因为 即 所以就有: (1)增减性: 当 时, 随k的增加而增大; 当 时, 随k的增加而减小. (2)最大值: 当n是偶数时,中间的一项 取得最大值; 当n是奇数时,中间的两项 与 相等,且同时取得最大值. 三、二项式系数的性质 3.各二项式系数的和 这就是说,(a+b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n. (1+x)n= + x+ x2+…+ xk+…+ xn 已知 令x=1得 2n= + + +…+ 三、二项式系数的性质 四、精典例题 例1 求证: 在(a+b)n的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于 偶数项的二项式系数的和. 实际上,a、b既可以取任意实数,也可以取任意多项式,还可以是别的, 我们可以根据具体问题的需要灵活选取a、b的值. 四、精典例题 例2 求值: 四、精典例题 例3 五、课堂小结 1.对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即 2.增减性与最大值 (1)增减性: 当 时, 随k的增加而增大; 当 时, 随k的增加而减小. (2)最大值: 当n是偶数时,中间的一项 取得最大值; 当n是奇数时,中间的两项 与 相等,且同时取得最大值. 3.各二项式系数的和 + + +…+ =2n 求二项展开式系数和,常用赋值法, 设二项式中的字母为1或-1. 注意 六、巩固提升 课堂练习: 第34页练习第1—4题 课堂作业: 第34页习题6.3第6、10题 $$