数列与不等式强化训练（A卷）-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

( 小强训·大进步 训练 订正 反思 巩固 ) 压轴题数列与不等式强化训练（A卷） 1、 单选题 1．已知数列满足，设数列满足：，数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．数列的通项公式为，已知其为单调递增数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．数列满足，，则（    ）． A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 5．在等比数列中．则能使不等式成立的正整数的最大值为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 6．已知数列的通项公式为，其前项和为，若不等式对一切正整数恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．数列满足，且，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知数列中，，，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2、 多选题 9．已知数列的通项公式，若对恒成立，则满足条件的正整数k可以为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 10．已知数列满足，，前n项和为，则（    ） A． B． C． D． 11．设为等比数列的前项和，满足，且，，成等差数列，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若数列中存在两项，使得，则的最小值为 D．若恒成立，则的最小值为 3、 填空题 12．已知数列中，（且）．若对任意的，都有成立，的取值范围是 ． 13．已知数列满足，则的最小值为 . 14．设数列的前项和为，且，已知关于的方程有唯一的解，则 ；若不等式对任意的恒成立，则的最大值是 ． 4、 解答题 15．已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若等比数列的公比为，且满足，求满足的所有正整数的值. 16．已知数列的前项和为，且． (1)求证：是等比数列； (2)若，数列的前项和为，求证：． 17．已知数列的前n项和为，且对任意正整数n都有. (1)求数列的通项公式； (2)若（n为正整数），求数列的前n项和； (3)若（n为正整数），且不等式对任意正整数n都成立，求实数t的取值范围. 18．记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，证明：． 19．已知函数定义在区间内，，且当时，恒有，数列满足，，在数列中，． (1)求证：为奇函数； (2)求的表达式； (3)是否存在自然数m，使得对任意，都有成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．D 【分析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求数列的和，最后利用函数的单调性求出结果. 【详解】数列满足，① 当时，，② ①②得，，故， 则， 则， 由于恒成立， 故， 整理得：， 因随的增加而减小， 所以当时，最大，且为， 即. 故选：D 2．B 【分析】利用数列的单调性的定义及不等式恒成立的解决方法即可求解. 【详解】因为， 所以. 因为数列为单调递增数列， 所以在恒成立， 所以，即可. 令，，则， 由一次函数知，当时，取得最大值为,即. 所以的取值范围为. 故选：B. 3．B 【分析】先根据奇偶数对n讨论，再分离参数a，转化函数最值问题即得解. 【详解】（1）当n为偶数时，恒成立，即转化为恒成立， 而数列是递增数列，故时，，故； （2）当n为奇数时，恒成立，即，转化为恒成立， 而数列是递增数列，n为奇数时，，故； 综上可得a的范围为. 故选：B. 4．C 【分析】当，时，推得即，判断A；当时，即，说明，不满足，判断B；当时，，可知，利用递推式推得，从而当时，推出，判断. 【详解】由于,所以当时，，， 则对任意的，均有，则， 即，当且仅当时取等号，A错误； 当时，即，而，不满足，B错误； 当时，则，故， 则，而， 故， 依次迭代得 ， 即， 所以当时，，故，C正确，D错误， 故选：C． 5．C 【分析】首先可得，即可得到时，，时，，再根据下标和性质得到，，，，即可得到，从而得解. 【详解】解：因为，所以公比，则， 时，，时，， 又，所以，，，， 则， 又当时，， 所以能使不等式成立的最大正整数是． 故选：C． 6．D 【分析】求出，利用参变量分离法可得，利用基本不等式求出的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】因为，所以． 不等式化为， 所以对一切正整数成立， ， 当且仅当，即时等号成立，所以． 故选：D. 7．B 【分析】分析可知数列是等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的通项公式，然后分析数列的单调性，可得结果. 【详解】因为，等式两边同时乘以可