1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（第二、三课时 用空间向量研究空间角）教学设计-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

课堂教学设计 学科： 数学 姓名： 课题：1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题第二、三课时 课型：新授课 课程标准分析 选择性必修第一册中关于空间向量安排了四节内容，是必修第二册中平面向量内容的延续和拓展，空间向量基本定理的内容可以由平面向量的知识类比得到.空间向量的四节知识彼此渗透，彼此衔接，共同完成了空间向量的知识体系.本节重点是空间向量基本定理在解决立体几何问题中线与线、线与面和面与面夹角的问题. 在必修立体几何内容中，证明异面直线垂直、两直线平行以及异面直线成角的求法，已经有相应的定理、定义作为保证.空间向量基本定理中蕴含的基底法是解决向量问题的基本方法之一，空间向量应用在立体几何中，有利于学生克服空间想象力的障碍和空间作图的困难.利用空间向量基底法解立体几何问题，可以把抽象的立体几何问题平面化，转化为代数计算问题，并具有很强的规律性和可操作性.对于培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养有着重要意义. 教学背景分析 “空间向量的应用”主要是利用向量方法解决简单的立体几何问题，包括用空间向量描述空间直线、平面间的平行、垂直关系，证明直线、平面位置关系的判定定理，用空间向量解决空间距离、夹角问题等，向量方法是这部分的重点．为了使学生掌握向量方法，教科书注意以典型的立体几何问题为例，让学生体会向量方法在解决立体几何问题中的作用，并引导学生自己归纳用向量方法解决立体几何问题的“三步曲”．同时，教科书还注意引导学生归纳向量法、综合法与坐标法的特点，根据具体问题的特点选择合适的方法． 空间向量体系的建立需要立体几何的基本知识，反过来，立体几何中的问题可以用向量方法解决．因此，我们说空间向量与立体几何间有着天然的联系．“空间向量与立体几何”属于“几何与代数”内容主线，课程标准设计这条主线的一个基点是：让学生知道如何用代数运算解决几何问题，这是现代数学的重要研究手法． 向量方法是解决几何问题的常用方法．立体几何所讨论的是三维空间中的点、直线、平面等元素，由于它们可以与空间向量建立联系，许多立体几何问题可以转化为空间向量问题，通过空间向量的运算得出几何结论．解决这些问题，主要运用向量方法． 单元教学目标 1.目标 (1)能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、直线到平面(直线与平面平行)、相互平行的平面的距离问题， (2)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角(夹角)问题。 (3)理解用向量方法解决立体几何问题的程序，并用来解决立体几何问题，体会向量方法的作用. 2.目标解析 达成上述目标的标志是: (1)能利用向量投影推导点到直线的距离公式、点到平面的距离公式，能把相互平行的直线间的距离、直线到平面的距离(直线与平面平行)、相互平行的平面间的距离转化为点到直线的距离或点到平面的距离，进而求得上述距离. (2)能通过实例归纳出利用向量的数量积求空间两条异面直线所成角的一般方法:能够利用向量的数量积得出直线与平面、平面与平面所成角的计算公式，并用来解决有关夹角问题。体会利用向量数量积解决空间角度问题的优势. (3)能归纳出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”， 并自觉地运用“三步曲”解决立体几何中的问题;通过用向量方法、综合几何方法从不同角度解决立体几何问题，体会向量方法的优势以及向量及其运算在解决立体几何问题中的作用， 课时教学目标 （1）能用向量方法得到两条直线所成的角、直线和平面所成的角、两个平面的夹角的向量表达式，解决立体几何中有关角度的度量问题， （2）让学生体验向量方法在解决立体几何问题中的作用. （3）通过本节学习，提升学生的直观想象、数学运算、逻辑推理和数学抽象等数学学科核心素养． 教学重点和难点 重点:利用向量的数量积研究两条直线所成的角、直线和平面所成的角、两个平面的夹角. 难点:根据问题的条件选择适当的基底. 教学资源和教学方法 教材、教参、教辅 问题引导式 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 教师个人二次备课 环节一 引入新课 建立空间向量与几何要素的对应关系是利用空间向量解决立体几何问题的关键.上一节课我们学习了运用空间向量研究立体几何中有关直线、平面的距离问题.与距离一样，角度是立体几何中的另一类度量问题.本质上，角度是对两个方向的差的度量，向量是有方向的量，所以利用向量研究角度问题有其独特的优势. 知识回顾：用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” 学生回顾 明确研究路径，为具体研究提供思路. 环节二 课堂探究 任务一 求解直线与直线所成的角 任务二 求解直线与平面所成的角 任务三 平面和平面所成的角 ( A B D C M N