3.2.1双曲线及其标准方程（第一课时）教学设计-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

课堂教学设计 学科:数学 姓名: 课题:3.2.1双曲线及其标准方程 课型:新授课 课程标准分析 1、 内容和内容解析 1.内容:双曲线的定义、标准方程、简单几何性质及其应用. 本单元分为3课时第1课时,双曲线及其标准方程;第2课时,双曲线的简单几何性质;第3课时,双曲线的应用. 2.内容解析 双曲线是第二种圆锥曲线,与椭圆“同构”,因此其研究的内容、方法与椭圆完全类似,当然双曲线也有自身的特点. 教科书中双曲线的定义是其“个性定义”,与椭圆定义相比,二者相同之处在于它们都是平面内与两个定点的距离具有某种确定关系的点的轨迹,而且这种确定关系是通过代数运算得到的;不同的是所用的运算方法.从数学研究的角度,在研究了椭圆之后,一个自然的问题是:平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么? 问题中这个“常数”可以分为三类:正数、负数和零.经过探索发现,差的绝对值是一个非零常数时,得到的点的轨迹是双曲线;常数等于0时,点的轨迹是定点组成的线段的垂直平分线因此在双曲线定义的形成过程中蕴含着分类讨论的思想. 双曲线方程的推导过程与椭圆完全类似.但二者的标准方程的结构特征不同,通过比较可以认识各自的结构特点. 对于双曲线的几何特征,依然要研究范围、对称性、顶点、离心率,此外还要研究双曲线的特有性质-渐近线.对于渐近线,教科书中采取了螺旋上升的处理办法,在必修内容中没有给出严格的定义,只是一种描述,对于“无限接近”也只能是直观感受、操作确认.在本单元的“探究与发现”栏目中,数形结合地解释了为什么 是双曲线 的渐近线. 双曲线的离心率和渐近线都可以刻画其开口大小,二者是统一的.设渐近线 的倾斜角为,借助三角函数的知识可知,离心率 ,渐近线的斜率 ,二者是统一的. 建立方程,利用方程研究双曲线的性质,目的在于其应用.与椭圆类似,双曲线在科研、生产、生活中有着广泛的应用.解决应用问题,关键是学会通过数学的阅读提炼其中的信息并将之转化为双曲线问题. 最后,还要研究直线与双曲线的位置关系.其求解方法和直线与椭圆位置关系问题的本质一致,不同之处在于二者标准方程结构特征的差异会导致细节处理上有差异. 2、 目标和目标解析 目标: (1)了解双曲线的实际背景,感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. (2)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,以及它的简单几何性质. (3)通过双曲线与方程的学习,进一步体会数形结合的思想. 目标解析: 达成上述目标的标志是: (1)能类比椭圆的定义,通过改变其中的运算类型,由“距离之和”到“距离之差”提出值得研究的问题;通过绘制满足条件的点的轨迹,认识双曲线的几何特征,得出双曲线的定义. (2)能推导双曲线的方程,能解释方程的结构特征. (3)能在直观感知双曲线几何特征的基础上,依据双曲线的标准方程用代数方法推导双曲线的范围对称性、顶点、渐近线和离心率等简单几何性质. (4)能用双曲线的定义、标准方程及简单几何性质解决简单的问题;能通过双曲线与方程的学习,体会建立曲线方程、用曲线的方程研究曲线的性质的方法,发展数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理素养. (5)能利用双曲线的方程解决数学问题和实际问题. (6)能用直线的方程与双曲线的标准方程研究直线与双曲线的位置关系,会求解直线与双曲线的交点、弦长等问题. 教学背景分析 一、教学问题诊断分析 (1)如何抽象出双曲线的几何特征是一个教学难点.为突破此难点,先类比圆的定义提出问题:平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么?之后,引导学生分析,常数的取值情况,分类讨论,将常数等于0的情况确定了,再解决常数不等于0的情况.问题是类比椭圆提出的,所以画图也是从画椭圆开始,之后再变式.为此,可以利用 Geogebra等信息技术进行.在利用技术演示椭圆的形成过程时,引导学生紧扣定义,观察点P的位置,及对应的定点 F1,F2,动点M到两定点的距离分别是什么,其和为什么是定值,将图3.2-1中各个量与圆的定义相对应然后改变点P的位置,使得点P在点A的左侧,或点B的右侧.类比图 3.2-1,观察图3.2-2中动点M与定点F1,F2,的距离关系,归纳出动点满足的几何条件是动点到两定点的距离之差的绝对值为定长.在应用技术手段时,一定要注意给学生明确的观察任务,真正发挥技术的直观作用. (2)对双曲线渐近线的理解是又一个教学难点.为破解此难点,充分发挥“几何眼光”的作用,通过直观感知,并类比函数图象中相关经验帮助学生理解.对此,还可以利用技术手段进行动态演示,如图3.2-3,让学生直观地看到,当沿曲线向右上方拖动点M,点M的横坐标增大时,它到渐近线的距离越来越小对于有兴趣的学生,还可以引导他们阅读本单元的“探究与发现”,用代数方法进行论证,真正理解渐近线的含义. 此外,类比