2024年中考数学二轮复习——构造全等模型 讲义

2024年中考数学二轮复习——构造全等模型 一、平行线+线段中点构造全等模型 例1.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,连接DE并延长交CB的延长线于点F,点G在边BC上,且∠GDF=∠ADF. (1)求证: ADE≌ BFE; (2)连接EG,判断EG与DF的位置关系并说明理由. (3)求证:AD+BG=DG. 解:(1)如图1,∵E是AB的中点, ∴AE=BE, ∵AD∥BC, ∴∠A=∠ABF,∠ADE=∠F, ∴ ADE≌ BFE; (2)如图2,EG⊥DF,理由是: ∵∠ADF=∠F,∠ADF=∠GDF, ∴∠F=∠GDF, ∴DG=FG, 由(1)得: ADE≌ BFE, ∴DE=EF, ∴EG⊥FD; (3)如图2,由(1)得: ADE≌ BFE, ∴AD=BF, ∵FG=BF+BG, ∴FG=AD+BG, ∵FG=DG, ∴AD+BG=DG. 例2.【发现】如图①,点O为线段AB,CD的中点,连接AC,BD,我们易得 AOC≌ BOD,进而可以得到AC=BD,且AC∥BD. 【应用】如图②,在Rt ABC中,AB=CB,∠ABC=90 ,点D为线段AC上一点,以AD为斜边作等腰直角 AED(点A,E,D按顺时针顺序排列),即AE=DE,∠AED=90 ,取CD的中点F,连接BF,EF,BE. (1)求∠EDF的度数. (2)求证:∠EBF=45 . 【拓展】 (3)若将(2)中的点D改为直线AC上一点,其他条件不变,设直线BE与直线AC相交于点G,当AB=CB=6,BF=2时,请直接写出FG的长. (1)解:∵AE=DE,∠AED=90 , ∴∠ADE=45 , ∴∠EDF=180 ﹣∠ADE=135 ; (2)证明:延长EF至M,使FM=EF,连接CM, 由【发现】可知ED=CM,EN∥CM, ∵AE=DE,∠AED=90 , ∴∠EAD=45 ,CM=AE, ∵AB=BC,∠ABC=90 , ∴∠BAC=45 , ∴∠BAE=90 , ∴BA∥DE, ∴BA∥CM, ∴∠BCM=∠ABC=90 , ∵AB=BC, ∴ ABE≌ CBM(SAS), ∴BE=BM,∠ABE=∠CBM, ∴∠EBM=∠ABC=90 , 即 BEM是等腰直角三角形, ∵F为EM的中点, ∴∠EBF∠EBM=45 ; (3)解:当点G在线段AC上时,如图②,在BM上截取BH=BG,连接FH,CH, 由(2)可知∠EBF=∠FBH=45 , 又∵BF=BF, ∴ GBF≌ HBF(SAS), ∴GF=FH,BG=BH, ∵AB=BC,∠ABG=∠CBH, ∴ ABG≌ CBH(SAS), ∴∠BAG=∠BCH=45 ,AG=CH, ∴∠FCH=45 +45 =90 , ∴CF2+CH2=FH2, ∵AB=BC=6, ∴ACAB=12, 由(2)知 BEF为等腰直角三角形, ∵BF=2, ∴BEBF=4, ∴AE2, ∴ADAE=4, ∴CD=AC﹣AD=8, ∵F为CD的中点, ∴CF=4, 设FG=x,则AG=8﹣x, ∴(8﹣x)2+42=x2, ∴x=5, ∴FG=5; 如图③,当点G在CA的延长线上时,CD=AC+AD=12+4=16, ∴CF=8,AF=4, 由(2)可知∠EBF=45 , 同理可知FG2=AG2+CF2, 设AG=x, ∴(12+x﹣8)2=x2+82, ∴x=6, ∴AG=6, ∴FG=6+4=10. 综上所述,FG的长为5或10. 例3.在 ABC中,∠ABC=90 ,AB=BC,正方形ADEF与 ABC有公共顶点A,P是CE的中点,连接PB,PF. (1)如图1,点B在AF上,请直接写出PB,PF的数量关系与位置关系; (2)如图2,将图1中的 ABC绕点A旋转,使C,A,E三点在一条直线上,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明你的结论;若不成立,请说明理由. 解:(1)PB=PF,PB⊥PF. 如图,延长BP交EF于点G, ∵四边形ADEF为正方形, ∴AF=EF,∠AFE=90 , ∵P是CE的中点, ∴PC=PE, ∵∠ABC=90 ,AB=BC, ∴∠ABC=∠AFE=90 , ∴EF∥BC, ∴∠PBC=∠PGE,∠BCP=∠GEP, 在 BCP和 GEP中, , ∴ BCP≌ GEP(AAS), ∴PB=PG,BC=GE, ∴AB=GE, ∴AF﹣AB=EF﹣GE,即FB=FG, ∴ BFG为等腰直角三角形, 又∵PB=PG, ∴FPBG=PB,FP⊥BG, 即PB=PF,PB⊥PF. (2)(1)中的结论仍然成立,证明如下: 如图,延长BP交DE于点G,连接FG、FB, ∵四边形ADEF为正方形, ∴AF=EF=DE,∠AED=∠ADE=90 ,∠FAE=45