5.3.2函数的极值与最大(小)值（1）课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及应用 5.3.2 函数的极值与最大(小)值 第 一课时 函数的极值 学习目标 1、借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 2、能利用导数求某些函数的极大值、极小值 3、过理解函数的极值及其应用导数的求解过程,发展直观想象与数学运算素养 1.函数单调性与导数的关系 在某个区间(a,b)内, 若f '(x)>0,则函数y=f (x)在区间(a,b)内单调递增; 若f '(x)<0,则函数y=f (x)在区间(a,b)内单调递减. 2.利用导数判断函数单调性的步骤: ①求f(x)的定义域; ②求f '(x);③判断f '(x)的正负得f (x)的单调性. 3.导数图象与函数图象的关系: ①给f(x)找f '(x):看f(x)的增减得f '(x)的正负; ②给f '(x)找f(x):看f '(x)的正负得f(x)的增减; 知识要点回顾 探究新知 问题1 如果函数在某些点的导数为0,那么在这些点处函数有什么性质呢? 单调递增 单调递减 我们先来研究前面学习过的高台跳水问题. 观察下图,我们发现,当 t = a 时,高台跳水运动员距水面的高度最大. O t a b h h′(a)=0 t<a,h′(t)>0 t>a,h'(t)<0 在t=a附近,函数值先增后减,即当t在a的附近从小到大经过a时,h'(t)先正后负,且h'(t)连续变化,于是有h'(a)=0. LOGO 4 问题1 如图,函数y=f(x)在x=a,b,c,d,e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系? 函数f(x)在x=a的函数值比它附近的函数值都小. 函数f(x)在x=b的函数值比它附近的函数值都大. 探究新知 追问:y=f(x)在这些点处的导数值是多少? 在这些点附近,函数y=f(x)导数的正负有什么规律? 在x=a附近 左侧f ′(x)<0, 右侧f ′(x)>0 在x=b附近 左侧f ′(x)>0, 右侧f ′(x)<0 f ′(a)=0 f ′(b)=0 1.函数的极大值和极小值的概念: 我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值; b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点,极小值和极大值统称为极值 (extremum). 在定义中, 极值点是自变量的值,极值指的是对应的函数值. 图中的极大值点为_ 极小值点为_ 极大值为_ 极小值为_ b,d a,c,e f(b) ,f(d) f(a) , f(c) , f(e) 结论:极值点两侧,导数符号相异. 2.极值点两侧导数正负符号的规律: x x<x1 x1 x>x1 f'(x) f (x) + - 0 增 减 极小值 x x<x2 x2 x>x2 f'(x) f (x) 增 0 - 极大值 减 + 概念提升 思考1:函数的极大值一定大于极小值吗?函数的极大值与极小值是否有大小关系? 极值反映了函数在某一点附近的大小情况,刻画了函数的局部性质. 极大值与极小值没有必然的大小关系.一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值,在某一点的极小值可能大于另一点的极大值. 极小值 极大值 探究新知 问题4 若 f ′(x0)=0 ,则 x0是否为极值点? x y O y=x3 解:函数f(x)= x3, f ′(x)=3x2 当x=0时, f ′(0)=0 当x≠0时, f ′(x)>0 又因为函数 f(x)= x3是增函数 所以0不是函数 f(x)= x3的极值点. 追问:x=0 是否为函数 f(x)= x3 的极值点? LOGO 10 练习(第92页) 解: x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞) 因此,当x=-2时有极大值 例2. 当x=2时有极小值, + 0 - 0 + 极大值 极小值 方法归纳(二) 求可导函数f (x)极值的步骤: (2)求导数f '(x) (3)求方程f '(x)=0的根. (4)列表检查f '(x)在方程根左右的值的符号, 如果左负右正, 那么f(x)在这个根处取得极小值; 如果左正右负,那 么f(x)在这个根处取得极大值. (1)求函数定义域 (5)写结论 解: x f′(x) f(x) 课本P92 巩固练习 解: x (-∞, -3) -3 (-3, 3) 3 (3, +∞) f′(x) f(x) 课本P92 解: x (-∞, -2) -2 (-2, 2) 2 (2, +∞) f′(x) f(x) 课本P92 解: x (-∞, -1) -1 (-1, 1) 1 (1, +∞) f′(x) f(x) 例2.已知函数f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1时有极值0,求常数a,b的值. 典型例题 课堂小结 通过这节课,