极速提分法第2招巧用圆的基本性质解圆的五种关系作业课件2023-2024学年沪科版数学九年级下册

第2招 巧用圆的基本性质解圆的五种关系 整合方法·提升练 例 典 例 剖 析 整合方法·提升练 解题秘方：利用弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系证明即可． 整合方法·提升练 (1)求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC； 整合方法·提升练 整合方法·提升练 关系 1 弦、弧之间的关系 分 类 训 练 整合方法·提升练 【点拨】 在同圆或等圆中，等弦对等弧，等弧对等弦(劣弧等劣弧，优弧等优弧)． 整合方法·提升练 整合方法·提升练 2. [2023·广西]如图，点A，B，C在⊙O上，∠C＝40°.则∠AOB的度数是(　　) A．50°　　 B．60°　　 C．70°　　 D．80° 关系 2 圆周角、圆心角之间的关系 D 整合方法·提升练 3. [2023·枣庄]如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P.若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为(　　) A．32° B．42° C．48° D．52° 整合方法·提升练 【点拨】 【答案】A 整合方法·提升练 4. 如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E，AM⊥BC于点M，交CD于点N，连接AD. 关系 3 弧、圆周角之间的关系 整合方法·提升练 (1)求证：AD＝AN； 整合方法·提升练 整合方法·提升练 整合方法·提升练 5. 如图，以等边三角形ABC的边BC为直径作⊙O交AB于D，交AC于E，连接DE.试判断BD，DE，EC之间的数量关系，并说明理由． 关系 4 弦、圆心角之间的关系 整合方法·提升练 【点拨】 本题利用“在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等”去证明三条线段相等，因此，连接OD，OE，构造弦所对的圆心角是解此题的关键． 整合方法·提升练 【解】BD＝DE＝EC.理由如下： 如图，连接OD，OE. ∵OB＝OD＝OE＝OC，∠B＝∠C＝60°， ∴△BOD与△COE都是等边三角形． ∴∠BOD＝∠COE＝60°. ∴∠DOE＝180°－∠BOD－∠COE＝60°. ∴∠BOD＝∠DOE＝∠COE. ∴BD＝DE＝EC. 整合方法·提升练 6. [2023·上海模拟]如图，AB是半圆O的直径，AB＝2，P是半圆O上一动点，PC⊥AB，垂足为点C，D是AP的中点，连接BD. 关系 5 弧、圆心角之间的关系 整合方法·提升练 整合方法·提升练 (2)设BC＝x，tan∠ABD＝y，求y关于x的函数表达式； 整合方法·提升练 整合方法·提升练 整合方法·提升练 整合方法·提升练 如图，在⊙O中，＝，∠ACB＝60°. 证明：∵＝，∴AB＝AC. 又∵∠ACB＝60°， ∴△ABC是等边三角形． ∴AB＝BC＝CA. ∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC. (2)若D是的中点，求证：四边形OADB是菱形． 证明：连接OD，如图． ∵D是的中点，∴＝. ∴∠AOD＝∠BOD＝∠ACB＝60°. 又∵OD＝OA，OD＝OB， ∴△OAD和△OBD都是等边三角形． ∴OA＝AD＝OD，OB＝BD＝OD. ∴OA＝AD＝DB＝BO.∴四边形OADB是菱形． 1. 如图，在⊙O中，弦AD＝BC，求证：＝. 【证明】因为AD＝BC，根据“在同圆中，相等的弦所对的劣弧相等”，可得＝，所以＋＝＋，即＝. ∵∠A＝48°，∠APD＝80°， ∴∠C＝80°－48°＝32°. ∵＝， ∴∠B＝∠C＝32°.故选A. 【证明】∵∠ADC与∠ABC都是所对的圆周角， ∴∠ADC＝∠ABC. ∵AB⊥CD，AM⊥BC，∴∠CEB＝∠AMC＝90°. ∴∠ABC＋∠C＝∠CNM＋∠C＝90°. ∴∠ABC＝∠CNM. 又∠CNM＝∠AND.∴∠ABC＝∠AND. ∴∠ADC＝∠AND.∴AD＝AN. (2)若AB＝4，ON＝1，求⊙O的半径． 【解】如图，连接AO. ∵AD＝AN，AB⊥CD，AB＝4， ∴NE＝DE，AE＝AB＝2. 设NE＝DE＝x. ∵ON＝1，∴OE＝x－1. ∴OA＝OD＝OE＋DE＝2x－1. 在Rt△AOE中，根据勾股定理， 得OA2＝OE2＋AE2. 即(2x－1)2＝(x－1)2＋(2)2， 解得x＝2或x＝－(负值舍去)． ∴OA＝2x－1＝3.∴⊙O的半径为3. (1)当AC＝时，求线段AP的长； 【解】如图①，连接OP， 在Rt△POC中，OC＝AC－OA＝－1＝， OP＝1，∴PC2＝OP2－OC2＝， ∴在Rt△APC中， AP＝＝＝. 【解】如图②， 连接OP，取AC的中点E，连接DE， 在Rt△POC中，OC＝1－x，OP＝1， ∴PC＝＝＝， ∵点D是AP的中点， ∴DE＝PC＝，DE∥PC， ∵PC⊥AB，∴DE⊥AB，∴∠DEB＝90°， ∴tan∠ABD＝，易得BE＝x＋， ∴y＝＝. (3)设PC与BD交于