极速提分法第1招旋转问题中作辅助线的技巧作业课件 2023-2024学年沪科版数学九年级下册

第1招 旋转问题中作辅助线的技巧 整合方法·提升练 例 典 例 剖 析 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠B＋∠ADC＝180°，对角线AC＝m，求四边形ABCD的面积． 整合方法·提升练 解题秘方：此四边形不是特殊的四边形，要求面积通常需要将图形转化成规则的图形求解． 整合方法·提升练 解：将△ABC绕点A逆时针旋转60° 得到△ADE，如图． 则AC＝AE，∠B＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE. ∵∠B＋∠ADC＝180°， ∴∠ADE＋∠ADC＝180°. ∴点C，D，E在同一条直线上． 整合方法·提升练 整合方法·提升练 技巧 1 利用旋转构造等腰三角形 分 类 训 练 1. 如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，将边AB绕点A顺时针旋转90°得到的线段AD，连接CD，若AC＝1，BC＝3，求CD长． 整合方法·提升练 【解】将AC绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接BE，CE，如图． 整合方法·提升练 整合方法·提升练 整合方法·提升练 2. 【问题提出】如图①，四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝2，BC＝1，求四边形ABCD的面积． 【尝试解决】 旋转是一种重要的图形变换，当图形中有 一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决 问题． 技巧 2 利用旋转构造等边三角形 整合方法·提升练 (1)如图②，连接BD，由于AD＝CD，∠ADC＝60°，因此可将△DCB绕点D顺时针旋转60°，得到△DAB′，则△BDB′的形状是__________； 等边三角形 整合方法·提升练 【点拨】 由旋转的性质可得BD＝B′D，旋转角∠BDB′＝60°，∠DAB′＝∠C. 又∵∠ABC＋∠ADC＝180°， ∴∠BAD＋∠C＝180°. ∴∠BAD＋∠DAB′＝180°，即点B，A，B′三点共线． ∴△BDB′是等边三角形． 整合方法·提升练 (2)在(1)的基础上，求四边形ABCD的面积； 整合方法·提升练 整合方法·提升练 3. (1)如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，小明同学的方法是将△ABE绕点A逆时针旋转120°到 △ADG的位置，然后证明△AFE≌△AFG， 从而得出结论：____________________. 技巧 3 利用旋转构造轴对称图形 EF＝BE＋FD 整合方法·提升练 整合方法·提升练 【解】结论EF＝BE＋FD仍然成立． 理由：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG. ∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠ADG＝180°， ∴∠B＝∠ADG. 又∵AB＝AD，BE＝DG， ∴△ABE≌△ADG(SAS)． ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG. 整合方法·提升练 整合方法·提升练 ∵∠BAD＝60°，∠BAC＝∠DAE，∴∠CAE＝60°. 又∵AE＝AC，∴△AEC是等边三角形． 由AC＝m，易得等边三角形AEC的高h＝m. ∴S△AEC＝m·m＝m2.∴S四边形ABCD＝ S△ABC＋S△ADC＝S△ADE＋S△ADC＝S△AEC＝m2. 则△ACE是等腰直角三角形， ∵AC＝1， ∴CE＝AC＝，∠CEA＝45°. ∵∠ACB＝45°，∴∠BCE＝90°. 在Rt△BCE中，BE＝＝＝， ∵∠BAD＝∠CAE＝90°， ∴∠BAD＋∠DAE＝∠CAE＋∠DAE， 即∠BAE＝∠DAC， ∵AB＝AD，AE＝AC， ∴△ABE≌△ADC(SAS)． ∴BE＝DC.∴CD＝. 【解】由旋转的性质知△BCD≌△B′AD， ∴S四边形ABCD＝S△BDB′，AB′＝BC＝1. 易知BD＝BB′＝AB＋AB′＝2＋1＝3. 如图①，过点B′作B′E⊥BD于点E， 易知BE＝BD＝，则B′E＝＝， ∴S四边形ABCD＝S△BDB′＝×3×＝. (2)如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，(1)中得出的结论是否仍然成立？并说明理由． ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝ ∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝∠BAD. ∴∠EAF＝∠GAF.又∵AF＝AF， ∴△AEF≌△AGF(SAS)．∴EF＝FG. ∵FG＝DG＋FD＝BE＋FD，∴EF＝BE＋FD. $$