累加法求数列通项公式 强化训练（A卷）-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

( 小强训 · 大进步 训练 订正 反思 巩固 ) 专题突破 累加法求数列通项公式强化训练（A卷） 知识点梳理 累加法（叠加法） 若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。 具体步骤： 将上述个式子相加（左边加左边，右边加右边）得： = 整理得：= 强化训练 1、 单选题 1．已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 2．若数列满足，，则（    ） A．511 B．1023 C．1025 D．2047 3．数列1，3，7，15，……的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 4．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：    他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（   ） A．289 B．1024 C．1225 D．1378 5．已知数列满足，，，则数列第2023项为（    ） A． B． C． D． 6．数列、满足：，，，则数列的最大项是（    ） A．第7项 B．第9项 C．第11项 D．第12项 7．在数列中，，，且．表示不超过的最大整数，若，数列的前项和为，则（    ） A．2 B．3 C．2022 D．2023 8．已知数列满足，则数列的第2024项为（    ） A． B． C． D． 2、 多选题 9．已知无穷数列的前3项分别为2，4，8，…，则下列叙述正确的是（    ）． A．若是等比数列，则 B．若满足，则 C．若满足，则 D．若满足，则 10．如图的形状出现在南宋数学家扬辉所著的《详解九章算法·商功》中后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（    ） A． B． C． D．不存在正整数，使得为质数 11．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列满足，，则（    ） A． B． C． D．数列的前项和为 3、 填空题 12．若数列满足，则的通项公式是 ． 13．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，an＋2＋2an＝3an＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝ ． 14．对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，第四层比第三层多5个，以此类推，则第20层货物的个数为 . 4、 解答题 15．已知数列中，，且满足．设，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； 16．设数列满足，，． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式． 17．数列满足，，. (1)求，； (2)证明：数列是等差数列； (3)若，求数列的前n项和. 18．已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，求； (3)设，数列的前项和为，且对一切成立，求实数的取值范围. 19．已知数列满足. (1)证明：数列是等差数列； (2)数列满足.求数列的通项公式. 参考答案 1．B 【分析】根据题意，两边取倒数，然后累加即可得到结果. 【详解】，则，，，…，，以上各式相加可得，，. 故选：B 2．B 【分析】 通过累加和等比数列的求和即可得答案. 【详解】由题意知:， 则有，，，，， 由累加可得， 即 . 故选:B. 3．C 【分析】由前4项得到，再利用累加法求解． 【详解】依题意得，，， 所以依此类推得， 所以． 又也符合上式，所以符合题意的一个通项公式是． 故选：C． 4．C 【分析】分别求出三角形数和正方形数的通项公式，再逐项研究即可. 【详解】观察三角形数：1，3，6，10，…，记该数列为， 则，，，，，把这些式子的两边分别相加， 得，又也满足，所以， 观察正方形数：1，4，9，16，…，记该数列为，则， 对于选项A，由，此时方程没有正整数解，可排除； 对于选项B，由，此时方程没有正整数解，可排除； 对于选项C，由，得，即，且，符合题意； 对于选项D，不是一个完全平方数，可排除. 故选:C． 5．A 【分析】确定，利用累加法计算得到答案. 【详解】由，， ， 所以，，，， ， 将上式相加得： ． 故选：A 6．B 【分析】利用累加法得到，即可得到，然后列不等式求即可. 【详解】时，，，，，将上式累加，得，解得（对于同样