专项突破累乘法求数列通项公式（A卷）-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

( 小强训 · 大进步 训练 订正 反思 巩固 ) 专题突破 累乘法求数列通项公式强化训练（A卷） 知识点梳理 累乘法（叠乘法） 若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。 具体步骤： 将上述个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得： 整理得： 同步练习 1、 单选题 1．若数列满足，，则满足不等式的最大正整数为（    ） A．28 B．29 C．30 D．31 2．数列中，，（为正整数），则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知数列的前项和，且，则（    ） A． B． C． D． 4．已知数列的项满足，而，则＝（    ） A． B． C． D． 5．已知数列的前n项和为，且，，则（    ）． A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 6．已知，，则数列的通项公式是（    ） A． B． C． D．n 7．已知数列的首项为1，数列为等比数列，且，若，则（    ） A．1008 B．1024 C．2019 D．2020 8．已知数列的前项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 2、 多选题 9．已知数列满足，，数列的前n项和为，则（    ） A． B． C． D． 10．设数列的前项和分别为，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．设数列，的前项和分别为，，，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3、 填空题 12．已知数列满足，，，则 ． 13．在数列中，若，，则的通项公式为 ． 14．（1）在数列中， ，则 ； （2）已知数列中，，则数列{an}的通项公式是 . 4、 解答题 15．已知等差数列的各项均为正数，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求的通项公式及其前项和. 16．设为数列的前n项和，． (1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和． 17．已知，若. (1)求数列通项公式； (2)设，求数列的前项和. 18．已知数列的前项和为，且（）． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 19．已知数列的前n项和为，，且，数列满足， ，其中n∈N*． (1)分别求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 参考答案 1．B 【分析】利用累乘法求得，由此解不等式,求得正确答案. 【详解】依题意，数列满足，， ，所以 ，也符合，所以，是单调递增数列， 由，解得， 所以的最大值为. 故选：B 2．A 【分析】结合递推式特征，利用累乘法算出，进而可得答案. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：A 3．B 【分析】，又由，后由累乘法可得答案. 【详解】注意到，则当时，. 故. 故选：B 4．B 【分析】由，可得，然后利用累乘法可求得结果 【详解】由，得， 所以，，，……，，，（）， 所以， 所以， 因为，所以， 因为满足上式，所以， 故选：B 5．C 【分析】利用与的关系和累乘法求出即得解. 【详解】因为，， 所以当时，，化为， 从而，所以．适合. 所以. 故． 故选：C 6．D 【分析】根据题意可得，再利用累乘法计算可得； 【详解】由，得， 即， 则，，，…，， 由累乘法可得，所以， 又，符合上式，所以. 故选：D． 7．D 【分析】根据数列为等比数列，和，利用等比数列性质得到，再利用累乘法结合性质，由求解． 【详解】由数列为等比数列， 得． 又，所以， 所以． 又数列的首项，所以 故选：D 8．A 【分析】根据与的关系可得，再利用累乘法即可得，进而利用裂项相消法求和即可. 【详解】当时， 则 且，即，所以. 两式作差得， 即，即， 所以，即. 则. 所以. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求数列的通项公式的常用方法. （1）由与的关系求解. （2）累加法. （3）累乘法. （4）构造法. 9．ABD 【分析】求得数列的通项公式和前n项和公式，再去验证选项即可解决. 【详解】由， 可得：，，，，， 则 即，则，又时也成立，所以 故选项B判断正确； 由，可知选项A判断正确； 令 则2 两式相减得 故选项D判断正确； 由，可得选项C判断错误. 故选：ABD 10．ABD 【解析】可由累乘法求得的通项公式，再由得出，代入中可得.由裂项相消法求出，利用数列的单调性证明. 【详解】由题意得，， ∴当时， ，且当时也成立， ∴ ，易得，∴ ，故正确； ∴ ， ∴ ， 又随着的增加而增加， ∴，∴，C错误，D正确， 故选：ABD. 【点睛】使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 11．A