构造法求数列通项公式 强化训练（A卷）-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

( 小强训 · 大进步 训练 订正 反思 巩固 ) 专题突破 构造法求数列通项公式强化训练（A卷） 知识点填空 构造法 类型1： 用“待定系数法”构造等比数列 形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式. 标准模型：（为常数，）或（为常数，） 类型2：用“同除法”构造等差数列 （1）形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式. （2）形如，可通过两边同除，将它转化为，换元令：，则原式化为：，先利用构造法类型1求出，再求出的通项公式. （3）形如的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式. 类型3：用“倒数变换法”构造等差数列 类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得. 类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.） 同步练习 1、 单选题 1．已知数列的首项，且满足，则中最小的一项是（    ） A． B． C． D． 2．已知数列中，且，则为（    ） A． B． C． D． 3．已知数列的前n项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知数列中，，，则数列的前10项和（    ） A． B． C． D．2 5．已知数列的前项和为，，，若，则的最小值是　　 A．4 B．5 C．6 D．7 6．已知数列满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．已知在数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知数列满足，若对任意的正整数恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2、 多选题 9．数列的首项为1，且，是数列的前n项和，则下列结论正确的是（    ） A． B．数列是等比数列 C． D． 10．已知数列满足，则下列结论正确的有（　　） A．为等比数列 B．的通项公式为 C．为递增数列 D．的前n项和 11．已知数列满足：，当时，，则关于数列的说法正确的是(    ) A． B．是递增数列 C． D．数列为周期数列 3、 填空题 12．已知数列中，，，则数列的通项公式为 . 13．已知数列满足，则数列的前8项和 ． 14．已知数列的前n项和为，且，，则 ． 4、 解答题 15．设数列的各项都为正数，且． (1)证明数列为等差数列；(2)设，求数列的前项和． 16．已知数列满足，． (1)求证：数列是等比数列； (2)若，为数列的前n项和，求． 17．已知数列满足. (1)若数列满足，求及的通顼公式； (2)数列的前项和. 18．已知数列的前项和为，且. (1)求证；数列是等比数列； (2)求证：. 19．已知函数（a，b为常数，），，且有唯一的解. (1)求的表达式； (2)记，且，证明数列是等差数列并求出. 参考答案 1．B 【分析】根据等差数列的定义和通项公式进行求解即可. 【详解】由， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列， 即， 所以有，显然当时，， 因此中最小的一项是， 故选：B 2．D 【分析】首先构造函数可得，所以为以为首项，公差为的等差数列，由等差数列通项公式即可得解. 【详解】由可得， 即， 所以为以为首项，公差为的等差数列， 所以， 所以. 故选：D. 3．D 【分析】利用构造法，结合与等差数列的定义即可得解. 【详解】因为，则，整理得， 又，则， 因此数列是首项为1，公差为1的等差数列， 则，所以. 故选：D. 4．C 【分析】将递推式两边同时倒下，然后构造等差数列求出数列的通项公式，再利用裂项相消法求和即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∴数列是首项为，公差为的等差数列， ∴，∴． ∴， ∴数列的前10项和． 故选:C． 5．C 【分析】根据题意，可得，可得数列为等比数列，即可求得数列的通项公式，代入，即可求得，即可求得的最小值． 【详解】解：由题意可知，，则， 即，所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列， 因此，， 由，即， 整理得，即，解得，因为，，所以的最小值为6， 故选：C． 6．C 【分析】变换得到，得到是首项为，公比为的等比数列，，计算得到答案. 【详解】，，易知，故， 故是首项为，公比为的等比数列，，， 故. 故选：C. 7．A 【分析】依题意可得，即可得到是以为首项，为公比的等比数