24.3圆周角课件 2023-2024学年沪科版数学九年级下册

第24章 圆 24.3 圆周角 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 课时讲解 1 课时流程 2 圆周角及圆周角定理 圆周角定理的推论 圆的内接多边形 知识点 圆周角及圆周角定理 知1－讲 1 1. 圆周角的定义 顶点在圆上，并且两边都与圆还有另一个公共点的角叫做圆周角. (1)特征：圆周角必须满足两个条件： ①顶点在圆上；②两边都和圆相交. 知1－讲 (2)示例：如图24.3-1 ①中的角是圆周角，②③④中的角都不是圆周角. 2. 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半. 示例：如图24.3-2，∠ ACB=∠ AOB. 知1－讲 知1－讲 特别提醒 圆心角与圆周角的区别与联系： 圆心角 圆周角 区 别 顶点在圆心 顶点在圆上 在同圆中，一条弧所对的圆心角唯一 在同圆中，一条弧所对的圆周角有无数个 联系 两边都与圆相交 知1－练 如图24.3-3，AB 是⊙ O 的直径， 弦BC=BD， 若 ∠ BOD=50°，求∠ A 的度数. 例 1 7 知1－练 解题秘方：连接OC，将求BC 所对的圆周角转化为求BC所对的圆心角来解. 技巧提醒 圆周角定理可以将圆心角与圆周角进行转化，因此求一个圆周角的度数时，我们可以求与之相等的另一个圆周角的度数，也可以求同弧所对的圆心角的度数.根据题目所给的条件选用其一进行求解即可. ︵ ︵ 8 知1－练 解：如图24.3-3，连接OC. ∵ BC=BD， ∴∠ BOC= ∠ BOD=50°. ∴∠ A= ∠ BOC= ×50°=25° 9 知识点 圆周角定理的推论 知2－讲 2 1. 推论1 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等. 2. 推论2 半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. 知2－讲 3. “五量关系”定理 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弧所对的圆周角、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 知2－讲 特别提醒 “同弧或等弧”若改为“同弦或等弦”，结论就不成立了. 因为一条弦所对的圆周角有两种情况，即顶点在优弧上的圆周角和顶点在劣弧上的圆周角. 知2－练 如图24.3-4，A，P，B，C 是圆上的四个点， ∠ APC= ∠ CPB=60°．求证：△ ABC 是等边三 角形. 例2 解题秘方：紧扣“同弧所对的圆周角相等”来判断. 知2－练 知识链接 等边三角形的判定方法： 方法1：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形； 方法2：三边都相等的三角形是等边三角形； 方法3：三个角都相等的三角形是等边三角形； 方法4：有两个角是60°的三角形是等边三角形. 知2－练 证明：∵ A，P，B，C 是圆上的四个点， ∴∠ ABC= ∠ APC，∠ BAC= ∠ CPB. 又∵∠ APC= ∠ CPB=60°， ∴∠ ABC= ∠ BAC=60°. ∴△ ABC 是等边三角形. 知2－练 [中考·山西]如图24.3-5，△ ABC 内接于⊙ O，AD 是 ⊙ O 的直径，若∠ B=20°，则∠ CAD 的度数是( ) A. 60° B. 65° C. 70° D. 75° 例 3 知2－练 解法提醒 题中条件有直径，因此作辅助线，构造直径所对的圆周角(直角)是常用的作辅助线的方法. 解题秘方：本题考查了圆周角定理的推论、三角形内角和定理．熟练掌握圆周角定理的推论是解此题的关键． 知2－练 解：如图24.3-5，连接CD. ∵ AD 是⊙ O 的直径，∴∠ ACD=90°． ∵∠ D 和∠ B 是 AC 所对的圆周角， ∴∠ D= ∠ B=20°， ∴∠ CAD =180°－∠ACD－∠D=70°． 答案：C ︵ 知2－练 如图24.3-6，已知经过原点的⊙ P 与x 轴，y 轴分别交 于A，B 两点，点C 是圆上一点，则∠ ACB 的度数是( ) A. 80° B. 90° C. 100° D. 无法确定 例4 知2－练 通用技巧 圆中常见的作辅助线的方法： 1. 有直径，通常作直径所对的圆周角，从而得出两直线互相垂直.简记为：见直径作直角 . 2. 有90°的圆周角，通常作直径.简记为：有直角作直径. 解题秘方：利用“90°的圆周角所对的弦是直径”，结合“直径所对的圆周角是直角”求解. 知2－练 解：如图24.3-6，连接AB. ∵∠ AOB=90°， ∴ AB 是⊙ P 的直径. ∴∠ ACB=90°. 答案：B 知识点 圆的内接多边形 知3－讲 3 1. 圆的内接多边形 一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 知3－讲 2. 圆内接四边形的性质 定理：圆内接四边