24.2圆的基本性质2垂径分弦课件 2023-2024学年沪科版数学九年级下册

第24章 圆 24.2 圆的基本性质 24.2.2 垂径分弦 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 课时讲解 1 课时流程 2 圆的轴对称性 垂径定理 垂径定理的推论 知识点 圆的轴对称性 知1－讲 1 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. (1)圆的对称轴有无数条. (2)“圆的对称轴是直径所在直线”或说成“圆的对称轴是经过圆心的直线”. 知1－讲 警示误区 因为直径是弦，弦是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”. 知1－练 [中考·张家界改编] 下列图形中，不是轴对称图形的 是( ) 例 1 5 知1－练 解题秘方：由于圆的特殊轴对称性，只需判断圆内图形是否是以过圆心的直线为对称轴的轴对称图形即可. 知识储备 判断一个图形是不是轴对称图形，关键看能否找到一条直线，使得沿着这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，若能，这个图形是轴对称图形，否则不是. 6 知1－练 解： A. 是轴对称图形；B. 不是轴对称图形； C. 是轴对称图形；D. 是轴对称图形． 答案：B 7 知识点 垂径定理 知2－讲 2 1. 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧. 2. 示例 如图24.2-10，CD 是⊙ O 的直径，CD ⊥ AB 于点E，那么垂径定理可用几何语言表述为 CD 是直径， CD ⊥ AB， AE=BE， AD = BD， AC = BC ︵ ︵ ︵ ︵ 知2－讲 特别提醒 “垂直于弦的直径”还可以是垂直于弦的半径或过圆心垂直于弦的直线.其实质是：过圆心且垂直于弦的线段、直线均可.“两条弧”是指弦所对的劣弧和优弧或两个半圆. 知2－练 如图24.2-11，弦CD 垂直于⊙ O 的直径AB，垂足为H，且CD=2，BD= ，则AB 的长为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 例2 知2－练 解题秘方：构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求线段的长. 方法提醒 利用垂径定理求线段长的方法： 垂径定理是解决圆中的计算、证明问题常用的知识，求线段长时，一般把半径、圆心到弦的垂线段、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解，即用“垂径定理+勾股定理”求解. 知2－练 解：如图24.2-11，连接OD. ∵ CD ⊥ AB，CD=2 ， ∴ CH=DH=. 在Rt△BHD 中，由勾股定理，得BH=1. 设⊙O的半径为r， 在Rt △ OHD 中，OH2+HD2=OD2， 即(r－1)2+()2=r2，解得r= .∴ AB=2r=3. 答案：B 知2－练 如图24.2-12，在⊙ O 中，AB 为⊙ O 的弦，C，D是直线AB 上两点，且AC=BD. 求证：△ OCD 为等腰三角形. 例 3 知2－练 解题秘方：构建垂径定理的基本图形，结合线段垂直平分线的性质证明. 解题通法 证明线段相等、证明两线垂直、证明角相等都经常用到垂径定理.在使用垂径定理时，已知圆心，作垂直于弦的半径(或直径)或连半径，是常用的作辅助线的方法. 知2－练 证明：如图24.2-12， 过点O 作OM ⊥ AB，垂足为M， 则AM=BM. ∵ AC=BD，∴ CM=DM. 又∵ OM ⊥ CD，∴ OC=OD， 即△ OCD 为等腰三角形. 知识点 垂径定理的推论 知3－讲 3 1. 推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 知3－讲 2. 示例 如图24.2-13，CD 是⊙ O 的直径，AB 是弦( 非直径)，AB 与CD 相交于点E，且AE=BE，那么CD 垂直于AB，并且AC = BC ，AD = BD . 可用几何语言表述为： CD 是直径， AE=BE， AB 不是直径 CD ⊥ AB， AD = BD， AC = BC ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ 知3－讲 3. 弦心距 圆心到弦的距离叫做弦心距. 知3－讲 拓宽视野 对于一条直线，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么一定具备其他三个： (1)过圆心；(2)垂直于弦； (3)平分弦(非直径)；(4)平分弦所对的劣弧； (5)平分弦所对的优弧. 简记为“知二推三” 知3－练 如图24.2-14，AB，CD 是⊙ O 的弦，M，N 分别为 AB，CD 的中点，且∠ AMN = ∠ CNM. 求证：AB=CD. 例4 知3－练 解题秘方：紧扣弦的中点作符合垂径定理推论的基本图形，再结合全等三角形的判定和性质进行证明. 解题通法 证明两条弦相等的方法： 证明两条弦相等，可以先证明弦的一半相等. 根据垂径定理的推论，连接圆心和弦的中点是常见的作辅助线的方法. 知3－练 证明：如图24.2-14， 连接OM，ON，OA，OC. ∵ O