期中复习专题01 二次根式的概念性质及运算讲义2023-2024学年 人教版八年级数学下册

◄ 专题01 二次根式的概念性质及运算 ► 知识导学 1.二次根式 一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 注意： （1）必须含有二次根号“，“”的根指数为2，即“”，我们一般省略根指数2，写作“”． （2）被开方数必须是非负数，如和都不是二次根式． （3）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子． （4）式子a表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，≥0．二次根式具有双重非负性． （5）在具体问题中，如果已知二次根式，就隐含a≥0这一条件． （6）形如的式子也是二次根式，b与是相乘的关系，要注意当b是分数时不能写成带分数，例如可写成，但不能写成． 2.最简二次根式 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 3.同类二次根式 (1)几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式． (2)同类二次根式与同类项无论是在表现形式上还是运算法则上都有非常类似之处，学习时可对比来应用． 4.二次根式的性质 （1）． （2）． （3）． （4）． （5）． 5.拓展： （1）若，则a=0，b=0； （2）若，则a=0，b=0； （3）若，则a=0，b=0； （4）若，则a=0，b=0，c=0． 6．二次根式的乘法： （1）． （2）逆用： （3）推广：① ② 7．二次根式的除法： （1） （2）逆用： （3）推广：① ②，其中． 8．二次根式的加减 （1）法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． （2）步骤： ①将各个二次根式化成最简二次根式； ②找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合并被开方数相同的二次根式——将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变． （3）注意： ①化成最简二次根式后被开方数不相同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一部分． ②整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则在二次根式运算中仍然适用． ③根号外的因式就是这个根式的系数，二次根式的系数是带分数的要化为假分数的形式． 9．二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）． （2）在二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式（平方差公式、完全平方公式）仍然适用． （3）二次根式混合运算的结果一定要化成最简二次根式或整式． 导图导学 考向导学 ♫ 考向1 二次根式有意义的条件 对点演练 1.（2023秋•衡山县期末）下列各式中，一定是二次根式的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据二次根式的定义分别判断即可． 【解答】解：、的被开方数，不是二次根式，故此选项不符合题意； 、是三次根式，故此选项不符合题意； 、的被开方数，是二次根式，故此选项符合题意； 、的被开方数有可能小于0，即当时不是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：． 2.（2023秋•纳溪区期末）使有意义的的取值范围是　　 A．且 B． C．且 D． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出且，再求出答案即可． 【解答】解：要使有意义，必须且， 且， 即使有意义的的取值范围是且． 故选：． 3.（2023秋•钟山区期末）若满足，则的值为　　 A．0 B．1 C．2023 D．2024 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件判断出的取值范围，再进行计算即可． 【解答】解：有意义， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 名师点拨 1. 判断一个式子是不是二次根式，一是含有二次根号“，“”的根指数为2，即“”，我们一般省略根指数2，写作“”．二是被开方数为非负数. 2. 求一个式子中某个字母的取值范围，要综合考虑不同位置字母的取值范围. ♫ 考向2 最简二次根式与 同类二次根式的运用 对点演练 1.（2023秋•新蔡县期末）下列二次根式：、、、中，是最简二次根式的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】根据最简二次根式的定义分别判断解答即可． 【解答】解：，，，中是最简二次根式的有，，共2个． 故选：． 2.（2023秋•怀柔区期末）最简二次根式与是同类二次根式，则　　． 【分析】根据最简二次根式以及同类二次根式的定义即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：，， 解得：， 故答案为：21 3.（2023•西宁）如果最简根式与是同类二次根式，那么使有意义的的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】先根据二次根式的定义，列方程求出的值，代入，再根据二次根式的定义列出不等式，求出的取值范围即可．