期中复习专题06 实数讲义2023-2024学年 人教版七年级数学下册

◄ 专题06 实数 ► 知识导学 1．无理数 （1）无限不循环小数叫做无理数．如：，π，0．121121112…等． （2）判断方法： ①定义是判断一个数是不是无理数的重要依据； ②有理数都可以写成分数的形式，而无理数则不能写成分数的形式（两个整数的商）． （3）初中阶段常见的无理数：①含有开不尽方的数的方根的一类数，如，，1+等；②含有π的一类数，如5π，3+π等；③以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如0．2020020002…（相邻两个2之间0的个数逐渐加1）． 2．实数的概念和分类 （1）概念：有理数与无理数统称为实数． （2）实数按定义分类： 按正负分类： （3）分类标准的选择 对实数进行分类时，标准不同，得到的分类结果也就不同，但不管哪种分类方法，都要按照统一标准，做到不重不漏． 3．实数与数轴 （1）实数与数轴上的点的对应关系 实数与数轴上的点是一一对应的．即每个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数． （2）实数的大小比较 在数轴上的两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大． 4．实数的有关概念 （1）在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和在有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．例如和互为相反数；的绝对值是；的倒数是． （2）有关概念 ①相反数：数a的相反数是． ②倒数：实数a的倒数是． ③绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即． 5．实数的运算 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算．在进行实数运算时，有理数的运算法则和运算性质等同样适用． 实数运算的顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减．同级运算按照从左到右的顺序依次进行．如果遇到括号，则先进行括号里的运算． 6．比较实数大小常用的方法 （1）作差法 （2）作商法 （3）乘方法：把含相同根号的两个无理数同时乘方，比较乘方后两个数的大小，同时考虑符号，从而确定两个无理数的大小． （4）比较被开方数：若a>b>0，则，． （5）倒数法：设a>0，b>0，若，则a<b． （6）数轴法：如果两个数在数轴上，左边的点表示的数小于右边的点表示的数． （7）放缩法：如果a>c，c>b，那么a>b． 导图导学 考向导学 ♫ 考向1 实数的概念和分类 对点演练 1.（2023秋•信都区期中）下列分类，正确的是　　 A．有理数 B．无理数 C．实数 D．实数 【答案】 【分析】根据实数的分类即可求解． 【解答】解：实数分为有理数和无理数， 故选：． 2.（2023秋•诸暨市期末）下列各数：，，0.34，，（自左向右每两个“1”之间依次多一个“7” ．其中无理数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数． 【解答】解：在实数，，0.34，，（自左向右每两个“1”之间依次多一个“7” ，无理数有，，（自左向右每两个“1”之间依次多一个“7” ，共3个． 故选：． 3.（2023秋•浑南区月考）将下列数按要求分类，并将答案填入相应的括号内： ，，2.3，，0，，，，； 负实数集合　　； 有理数集合　　； 无理数集合　　． 【答案】，，；，，2.3，0，；，，，． 【分析】运用实数的概念进行逐一辨别、分类． 【解答】解：，，是负实数， ，，2.3，0，是有理数， ，，，是无理数， 故答案为：，，；，，2.3，0，；，，，． 名师点拨 1.判断一个数是不是无理数，必须看它是否同时满足两个条件：无限小数和不循环小数这两者缺一不可． 2.带根号的数并不都是无理数（比如，），而开方开不尽的数才是无理数． 3.实数的分类有不同的方法，但要按同一标准，做到不重不漏． 4.对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据最后结果进行分类． ♫ 考向2 实数与数轴 对点演练 1.（2023秋•北海期末）和数轴上的点一一对应的是　　 A．整数 B．无理数 C．实数 D．有理数 【分析】根据实数与数轴上的点是一一对应的进行解答． 【解答】解：实数与数轴上的点是一一对应的， 和数轴上的点一一对应的是实数． 故选：． 2.（2023秋•岳麓区校级期末）如图，点所表示的数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】数轴上的数，就是离开原点的距离加性质符号，因为，所以，表示的是负数，也就是，去掉括号选． 【解答】解：在中，， ， ， 表