期中复习专题03 平行线中的“拐点”问题讲义2023-2024学年 人教版七年级数学下册

◄专题03 平行线中的“拐点”问题► 知识导学 1.平行线中的“拐点”问题，实质上是对平行线的性质和判定的综合运用. 2.各种模型都有固定的结论，掌握这些结论，可以快速完成相应的选择题和填空题. 3.对于“拐点”问题，都可以通过从“拐点”作其中一条直线的平行线来解决. 导图导学 考向导学 ♫ 考向1 平行线模型—“猪蹄型” 对点演练 1.（2023春•高安市期中）如图，直线，，则　　． 【答案】． 【分析】根据邻补角的定义可得，即可算出的度数，根据平行线的性质可得，，计算即可得出答案． 【解答】解：如图， ， ， ， ． 故答案为：． 2.（2023春•全南县期末）（1）如图1已知：，，．探究与有怎样的位置关系． （2）如图2已知，试猜想，，之间的关系，写出这种关系，并加以证明． （3）如图3已知，试猜想，，，，之间的关系，请直接写出这种关系，不用证明． 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质和判定解答即可； （2）过点作，根据平行线的判定和性质解答即可； （3）根据平行线的性质和判定得出角的关系即可． 【解答】解：（1）过点作 （2）过点作 （3）． 3.（2023秋•白银区期末）【问题背景】同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． 【问题探究】（1）如图1，，为、之间一点，连接、．可以得到与、之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【灵活应用】（2）如图2，直线，若，，求的度数． 【答案】（1），见解答过程； （2）． 【分析】（1）过点作，从而可得，结合平行线的性质即可求解； （2）由三角形的内角和可求得，由对顶角相等得，再结合（1）的结论进行求解即可． 【解答】解：（1），理由如下： 点作，如图1， ， ， ，， ， ； （2），， ， ， 由“猪蹄模型”得：． 名师点拨 如果a//b，则∠2=∠1+∠3 ♫ 考向2 平行线模型—“铅笔型” 对点演练 1.（2024•九龙坡区校级开学）如图所示，直线，垂直于于，则的大小是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】过点作，根据铅笔模型进行计算即可解答． 【解答】解：过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 2.（2023春•太原期中）问题情境 （1）如图①，已知，试探究直线与有怎样的位置关系？并说明理由． 小明给出下面正确的解法： 直线与的位置关系是． 理由如下： 过点作（如图②所示）， 所以（依据， 因为（已知）， 所以， 所以， 所以（依据， 因为， 所以（依据． 交流反思 上述解答过程中的“依据1”，“依据2”，“依据3”分别指什么？ “依据1”：　　， “依据2”：　　， “依据3”：　　， 类比探究 （2）如图，当、、、满足条件　　时，有． 拓展延伸 （3）如图，当、、、满足条件　　时，有． 【分析】（1）过点作．由两直线平行，同旁内角互补及已知条件求得；然后根据平行线的传递性证得； （2）过点、分别作．根据两直线平行，同旁内角互补以及满足的条件求得同旁内角，所以；最后根据平行线的传递性来证得； （3）过点、分别作．由两直线平行，内错角相等可得①，②；由于满足的条件是③，③①②可得同旁内角，所以；最后根据平行线的传递性来证得． 【解答】解：（1）“依据1”：两直线平行，同旁内角互补， “依据2”：同旁内角互补，两直线平行， “依据3”：平行于同一条直线的两直线平行， 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两直线平行， （2）如图，当、、、满足条件时，有． 理由：过点、分别作． 则，， ； 又， ， ， ； 故答案为：； （3）如图，当、、、满足条件时，有． 理由：过点、分别作． 则，， ， 即， ， ， ， 故答案为：． 3.（2023春•安徽月考）（1）如图1，直线．点在直线，之间，试说明：． 小明说明的过程是这样的：“过点作，” 请按照小明的思路写出完整的解答说明过程． （2）①直线，点，在直线，之间，且点，在直线的同侧，如图2，试探究，，，之间的数量关系，并说明理由； ②直线，点，在直线，之间，且点，在直线的两侧．如图3，试探究，，，之间的数量关系，并说明理由． 请在①②任选一个问题进行解答． （3）如图4，若，直接写出图中的度数（不用说理）． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，可得，，根据等式的性质可得，即可得出答案； （2）①过点作，过点作，如图5，根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，，，，根据等式的性质可得，即可得出答案； （3）如图4，根据平行线模型锯齿模型定理，朝向左边的角的和朝向右边