专题02函数与导数专练-2024届高考数学二轮复习

【高考二轮专题训练系列】 2024高考数学（新高考适用） 专题02 函数与导数 题型训练 1. （2023•新高考Ⅰ）已知函数． 讨论的单调性； 证明：当时，． 2. （2022•新高考Ⅱ）已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，，求的取值范围； （3）设，证明：． 3. （2021•新高考Ⅱ）已知函数． （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）从下面两个条件中选一个，证明：恰有一个零点． ①，； ②，． 4. （2023•山东济南•模拟预测）设函数，已知恒成立． (1)求实数的值； (2)若数列满足，且，证明：. 5. （2023·重庆·校考二模）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求证：. 6. （2023·海南·联考模拟预测）已知函数. (1)当时，讨论函数的单调性； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围. 7. （2023·河北·模拟预测）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若存在实数，使得关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 8. （2023·广东东莞·校联考阶段）已知函数对任意实数恒有，当时，，且. (1)判断的奇偶性； (2)判断函数单调性，求在区间上的最大值； (3)若对所有的恒成立，求实数的取值范围. 9. （2023·福建泉州·校考模拟）已知函数，，且，若，，设，． (1)求函数的解析式并判断其奇偶性； (2)判断函数的单调性（不需证明），并求不等式的解集． 10. （2023·湖北宜昌·校联考模拟）已知． (1)若当时函数取到极值，求的值； (2)讨论函数在区间上的零点个数． 11. （2023·浙江温州·统考模拟预测）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)当时，求在上的最小值； (3)若在上存在零点，求的取值范围. 12. （2023·辽宁丹东·区联考二模）已知函数. (1)讨论函数的极值点个数； (2)若，的最小值是，求实数的取值范围. 13. （2023·天津·统考高考真题）已知函数． (1)求曲线在处切线的斜率； (2)当时，证明：； (3)证明：． 14. （2023·上海·统考高考真题）为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数” ，其中为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），为建筑物的体积（单位：立方米）． （1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为，高度为，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建筑体的“体形系数” ；（结果用含、的代数式表示） （2）定义建筑物的“形状因子”为，其中为建筑物底面面积，为建筑物底面周长，又定义为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）．设为某宿舍楼的层数，层高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为．当，时，试求当该宿舍楼的层数为多少时，“体形系数” 最小． 15. （2022·浙江·统考高考真题）设函数． （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）已知，，曲线上不同的三点，，，，，处的切线都经过点．证明： （ⅰ）若，则（a）； （ⅱ）若，，则． （注是自然对数的底数） 答案&解析 【1】 【解析】（1）， 则， ①当时，恒成立，在上单调递减， ②当时，令得，， 当时，，单调递减；当，时，，单调递增， 综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在，上单调递增． 证明：（2）由（1）可知，当时，， 要证，只需证， 只需证， 设（a），， 则（a）， 令（a）得，， 当时，（a），（a）单调递减，当，时，（a），（a）单调递增， 所以（a）， 即（a）， 所以得证， 即得证． 【2】 【解析】（1）当时，， ， ， 当时，，单调递增；当时，，单调递减． （2）令， ，， 在上恒成立， 又， 令，则， ， ①当，即，存在，使得当时，，即在上单调递增． 因为，所以在内递增，所以，这与矛盾，故舍去； ②当，即， ， 若，则， 所以在，上单调递减，，符合题意． 若，则， 所以在上单调递减，，符合题意． 综上所述，实数的取值范围是． 另解：的导数为， ①当时，， 所以在递增，所以，与题意矛盾； ②当时，， 所以在递减，所以，满足题意；． ③当时，． 设，，则在递减，所以， ，所以在递减，所以，满足题意； ④当时，， 令，则，， 可得递减，， 所以存在，使得．当时，， 在递增，此时， 所以当时，，在递增，所以，与题意矛盾． 综上可得，的取值范围是，． （3）由（2）可知，当时，， 令得，， 整理得，， ， ，， 即． 另解：运用数学归纳法证明． 当时，左边成立． 假设当时，不等式成立，即． 当时，要证， 只要证， 即证． 可令，则，，则需证明， 再令，则需证明． 构造函数，， ， 可得在，上递减， 则（1），所以原不等式成立， 即时，成立． 综上可得，成立． 【3】 【解析】（Ⅰ），， ①当时，