专题01 数列及其应用 专练-2024届高考数学二轮复习

【高考二轮专题训练系列】 2024高考数学（新高考适用） 专题01 数列及其应用 题型训练 1. （2023·新高考Ⅰ卷）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． (1)若，求的通项公式； (2)若为等差数列，且，求． 2. （2023•新高考Ⅱ）已知为等差数列，，记，为，的前项和，，． 求的通项公式； 证明：当时，． 3. （2022•新高考Ⅱ）已知是等差数列，是公比为2的等比数列，且． （1）证明：； （2）求集合，中元素的个数． 4. （2023·湖南岳阳·统考模拟）已知数列{an}的前n项和为． （1）证明数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式； （2）设，若对任意正整数n，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 5. （2023·广东广州·校考期中）已知数列满足，，记． (1)证明：数列为等差数列； (2)设数列的前n项和为，求数列的前n项的和． 6. （2023·浙江温州·统考模拟）设Sn为正项数列{an}的前n项和，满足2Sn＝+an﹣2． （I）求{an}的通项公式； （II）若不等式（1+）≥4对任意正整数n都成立，求实数t的取值范围； （Ⅲ）设bn＝（其中r是自然对数的底数），求证：． 7. （2023·福建厦门·校考练习）设是数列的前项和，已知 (1)求，并证明：是等比数列； (2)求满足的所有正整数. 8. （2023·黑龙江齐齐哈尔·统考练习）已知数列是公差为1的等差数列，且，数列是等比数列，且，. (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 9. （2023•广东模拟）已知正项等比数列{an}和其前n项和Sn满足a5﹣a1＝2S4，a2•a3＝a4． （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）在am和am+1之间插入m个数，使得这m+2个数依次构成一个等差数列，设此等差数列的公差为bm，求满足bm＞50的正整数m的最小值． 10. （2023•苏州三模）已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a2＝3，且a3，a5，a8成等比数列． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设，求数列{bn}的前2023项和． 11. （2023•上海）已知，在该函数图像上取一点，过点，做函数的切线，该切线与轴的交点记作，若，则过点，做函数的切线，该切线与轴的交点记作，以此类推，，，直至停止，由这些项构成数列． （1）设属于数列，证明：； （2）试比较与的大小关系； （3）若正整数，是否存在使得、、、、依次成等差数列？若存在，求出的所有取值；若不存在，请说明理由． 12. （2022·北京·统考高考真题）已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列． (1)判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由； (2)若为连续可表数列，求证：k的最小值为4； (3)若为连续可表数列，且，求证：． 13. （2022·天津·统考高考真题）设是等差数列，是等比数列，且． (1)求与的通项公式； (2)设的前n项和为，求证：； (3)求． 14. （2022•上海·统考高考真题）数列对任意且，均存在正整数，，满足，，． （1）求可能值； （2）命题：若，，，成等差数列，则，证明为真，同时写出逆命题，并判断命题是真是假，说明理由； （3）若，成立，求数列的通项公式． 15. （2022·浙江·统考高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为． (1)若，求； (2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围． 答案&解析 【1】 【答案】(1)(2) 【详解】（1），，解得， ， 又， ， 即，解得或（舍去）， . （2）为等差数列， ，即， ，即，解得或， ，， 又，由等差数列性质知，，即， ，即，解得或（舍去） 当时，，解得，与矛盾，无解； 当时，，解得. 综上，. 【2】 【解析】（1），， 根据题意可得， ， ，又， 解得，， ，； （2）为等差数列，为等差数列，且， 根据等差数列的通项公式的特点，可设，则，且； 或设，则，且， ①当，，时， 则， ，，又， 解得； ②当，，时， 则， ，，又， 此时无解， 综合可得． 【3】 【解析】（1）证明：设等差数列的公差为， 由，得，则， 由，得， 即， ． （2）由（1）知，， 由知，， ，即， 又，故，则， 故集合，中元素个数为9个． 【4】 【解答】（1）证明：由得，又， ∴数列是以为首项，公差为1的等差数列， ∴，即， ∴当n≥2时，， 又a1＝1不满足上式， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， ∴， ∴当n≤2时，bn+1＞bn； 当n≥3时，bn+1＜bn，即b1＜b2＜b3＞b4＞b5＞⋯， ∴bn的最大值为， 依题意，即m2﹣m﹣2＞0， 解得m＜﹣1或m