第四章 第三节 平面向量的数量积-【成功方案】2024年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

第三节　平面向量的数量积 知识点1　两个向量的夹角 向量夹角的定义和范围 定义 图示 范围 共线与垂直 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则__∠AOB__就是a与b的夹角 设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是__0°≤θ≤180°__ θ＝0°或θ＝180°⇔__a∥b__，__θ＝90°__，⇔a⊥b 知识点2　向量的数量积 (1)平面向量的数量积(内积)的定义a·b＝|a|·|b|cos θ(θ是a与b的夹角). (2)a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影__|b|cos_〈a，b〉__的乘积． (3)平面向量数量积的性质 设a，b为非零向量，它们的夹角为θ，则 ①设e是单位向量，且e与a的夹角为θ，则e·a＝__a·e__＝__|a|cos_θ__； ②a⊥b的充要条件是__a·b＝0__； ③cos θ＝____． (4)数量积的运算律 ①交换律：__a·b＝b·a__； ②分配律：对于向量a，b，c，__(a＋b)·c＝a·c＋b·c__； ③结合律：对λ∈R，λ(a·b)＝__(λa)·b__＝__a·(λb)__． 思考：向量b与c在向量a方向的投影相同，那么b＝c对吗？ 提示：不对．从式子|b|cos 〈b，a〉＝|c|cos 〈c，a〉看，b与c不一定相等，从几何意义看更直观． (5)数量积的坐标运算 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 ①a⊥b的充要条件是__x1x2＋y1y2＝0__； ②模长公式|a|＝____； ③夹角公式cos 〈a，b〉＝____． [常用结论] 1．两向量a与b夹角为锐角⇔a·b>0，且a与b不共线． 2．两向量a与b夹角为钝角⇔a·b<0且a与b不共线． 3．|a|cos θ(|b|cos θ)(θ是a与b的夹角)叫做向量a在b(b在a)方向上的投影． 4．(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. 5．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. 6．a与b同向时，a·b＝|a||b|；a与b反向时，a·b＝－|a||b|. 7．|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立． 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两个向量的夹角的范围是.(　　) (2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(　　) (3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(　　) (4)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.(　　) 【解析】　(1)两个向量夹角的范围是[0，π]. (4)由a·b＝a·c(a≠0)得|a||b|·cos 〈a，b〉＝|a||c|·cos 〈a，c〉，所以向量b和c不一定相等． 【答案】　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 教材衍化 2．(2023·山西运城·高一统考期末)已知向量a＝(m，1)，b＝(4，m)，若a与b方向相反，则|a－b|＝(　　) A．3 B． C．2 D．5 【解析】　由a与b共线可得m2＝4⇒m＝±2，当m＝2时，a＝(2，1)，b＝(4，2)，此时b＝2a，当m＝－2时，a＝(－2，1)，b＝(4，－2)，此时b＝－2a，由于a与b方向相反，所以m＝－2，故a－b＝(－6，3)，|a－b|＝＝3 .故选A. 【答案】　A 3．设a，b是非零向量，则“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】　设a与b的夹角为θ.因为a·b＝|a|·|b|cos θ＝|a|·|b|，所以cos θ＝1，即a与b的夹角为0°，故a∥b. 当a∥b时，a与b的夹角为0°或180°， 所以a·b＝|a|·|b|cos θ＝±|a|·|b|， 所以“a·b＝|a|·|b|”是“a∥b”的充分而不必要条件． 【答案】　A 考题体验 4．(2023·淮安模拟)已知平面向量a，b，满足|a|＝|b|＝1，若(2a－b)·b＝0，则向量a，b的夹角为(　　) A． B． C． D． 【解析】　由(2a－b)·b＝0，可得a·b＝b2＝，设向量a、b的夹角为θ， 则cos θ＝＝， 又θ∈[0，π]，所以向量a、b的夹角为. 【答案】　C 5．(多选题)(2023·青岛统检)已知向量a＋b＝(1，1)，a－b＝(－3，1)，c＝(1，1)，设a，b的夹角为θ，则(　　) A．|a|＝|b| B．a⊥c C．b∥c D．θ＝135° 【解析】　由a＋b＝(1，1)，a－b＝(－3，1)，得a＝(－1，1)，b＝(2，0)，则|a|＝，|b|＝2，故A不正确； a·c＝－1×1＋1×1＝0，故B正确； 不存在λ∈R