第八章 第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理-【成功方案】2024年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

第一节　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 知识点1　两个计数原理 (1)分类加法计数原理 完成一件事可以有n类不同方案，各类方案相互独立，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法…在第n类方案中有mn种不同的方法．那么，完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法． (2)分步乘法计数原理 完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法…做第n步有mn种不同的方法．那么，完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法． 知识点2　排列与组合 (1)排列、组合的定义 排列的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序__排成一列__ 组合的定义 __无顺序合成一组__ (2)排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数 组合数 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数 公式 A＝n(n－1)…(n－m＋1)＝ C＝＝ 性 质 A＝__n！__，0！＝__1__ C＝__C__，C＋C＝__C__ 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(　　) (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．(　　) (3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(　　) (4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．(　　) 【解析】　分类加法计数原理，每类方案中的方法都是不同的，每一种方法都能完成这件事；分步乘法计数原理，每步的方法都是不同的，每步的方法只能完成这一步，不能完成这件事，所以(1)，(4)均不正确． 【答案】　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 教材衍化 2．(2023·浙江省台州市高二下学期期末)某班有男生22人，女生18人，从中选一名学生为数学课代表，则不同的选法共有(　　) A．40种 B．396种 C．22种 D．18种 【解析】　从该班男中选一名同学为数学课代表有22种方法，从该班女中选一名同学为数学课代表有18种方法，不同的选法的种数有22＋18＝40种．故选A. 【答案】　A 3．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．从书架中任取1本书，则不同取法的种数为________． 【解析】　从书架上任取1本书，有三类方法：第1类方法是从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类方法是从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类方法是从第3层取1本体育书，有2种方法．根据分类加法计数原理，不同取法的种数是N＝m1＋m2＋m3＝4＋3＋2＝9. 【答案】　9 考题体验 4．(2023·重庆诊断)将3张不同的冬奥会门票分给10名同学中的3人，每人1张，不同的分法种数为(　　) A．720 B．240 C．120 D．60 【解析】　将3张不同的门票分给10名同学中的3人，每人1张，可分三步：第一步，第1张门票有10种不同的分法；第二步，第2张门票有9种不同的分法；第三步，第3张门票有8种不同的分法，由分步乘法计数原理得，共有10×9×8＝720种不同分法． 【答案】　A 5．(2023·武汉模拟)中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有(　　) A．30种 B．50种 C．60种 D．90种 【解析】　①若甲同学选择牛，则乙有2种选择，丙有10种选择，选法有1×2×10＝20种； ②若甲同学选择马，则乙有3种选择，丙有10种选择，选法有1×3×10＝30种， 所以共有20＋30＝50种选法．故选B. 【答案】　B 【例1】　在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为________． 【思路点拨】　应用分类加法计数原理可求解 【自主解答】　按十位数字分类，十位可为1，2，3，4，5，6，7，8，共分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个，则共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个两位数． 【答案】　36 【解题心得】　应用分类加法计数原理解决实际问题的步骤 (1)审题：认真阅读题设条件，理清题目要求． (2)分类：依据题设条件选择分类标准，做到不重不漏． (3)整合