上海市金山中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷

2023-2024学年上海市金山中学高二年级下学期 3月月考数学试卷 2024.3 一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1.已知集合，集合，则______. 2.已知，则______. 3.函数的导函数______. 4.已知直线和，若，则______. 5.已知为无穷等比数列，，，则的公比为______. 6.已知向量满足，与的夹角为，若，则______. 7.已知事件A与事件B互斥，若，则______. 8.在中，其内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为______. 9.若连续抛两次骰子得到的点数分别是，，则点在直线上的概率是______. 10.已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点且垂直轴的直线与交于，两点，且，若圆与的一条渐近线交于，两点，则______. 11.已知圆，点在抛物线上运动，过点引圆的切线，切点分别为，，则的取值范围为______. 12.棱长为的密闭正四面体容器内装有体积为的水，翻转容器，使得水面至少与2条棱平行，且水面是三角形，不考虑容器厚度及其它因素影响，则水面面积的最小值为 　　______ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13.已知复数满足，复数的共轭复数为，则在复平面内对应的点位于 　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 14.设是两条不同的直线，是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出的是（ ） A.且 B.且 C.且 D.且 15．已知函数与它的导函数的定义域均为R，现有下述两个命题： ①“为奇函数”是“为偶函数”的充分非必要条件； ②“为严格增函数”是“为严格增函数”的必要非充分条件． 则说法正确的选项是（ ） A．命题①和②均为真命题 B．命题①为真命题，命题②为假命题 C．命题①为假命题，命题②为真命题 D．命题①和②均为假命题 16.设数列的前项和为，若对任意的正整数，总存在正整数，使得，下列正确的命题是　　 ①可能为等差数列；②可能为等比数列； ③均能写成的两项之差； ④对任意，，总存在，，使得． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图, 在四棱锥 中, 已知 底面 , 底面 是正方形, . (1) 求证: 直线 平面 ; (2) 求直线 与平面 所成的角的大小. 18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知公差为正数的等差数列满足，，，成等比数列． （1）求的通项公式； （2）若，分别是等比数列的第1项和第2项，求使数列的前项和的最大正整数． 19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 图①是某中学的校门，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面和是全等的等腰梯形，左右两坡屋面和是全等的三角形．点在平面和上的射影分别为已知米，米，梯形的面积是面积的4倍． （1）求屋顶面积关于的函数关系式； （3）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为为正的常数），下部主体造价与其高度成正比，比例系数为．假设校门的总高度为，试问：当为何值时，校门的总造价（上部屋顶和下部两根立柱）最低？ 20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知椭圆的左、右焦点分别为，直线：与椭圆交于两点(点在点的上方)，与轴交于点． （1）当时，点为椭圆上除顶点外任一点，求的周长； （2）当且直线过点时，设，，求证：为定值，并求出该值； （3）若椭圆的离心率为，当为何值时，恒为定值；并求此时面积的最大值． 21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知，其中. （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； （2）设，函数在时取到最小值，求关于的表达式，并求的最大值； （3）当时，设，数列满足且，证明：. 第1页(共5页) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年上海市金山中学高二年级下学期 3月月考数学试卷 2024.3 一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.