5.3.1 函数的单调性（第1课时）课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.1函数的单调性 （第1课时） 在必修第一册中，我们通过图象直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大(小)值等性质. 在本章前两节中，我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化. 能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢? 本节我们就来讨论这个问题. 问题 1： 图（1）是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度 h 随时间 t 变化的函数 h(t) = − 4.9t2 + 4.8t + 11 的图象. 图（2）是跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化的函数 v(t) = h′(t) = − 9.8t + 4.8 的图象. 其中 a = ，b 是函数 h(t) 的零点. 仔细观察，说说运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ O a t h b h(t) = – 4.9t2+4.8t+11 （1） O a t v b v(t) = – 9.8t + 4.8 （2） 我们先来研究前面学习过的高台跳水问题. ① 从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度 h 随时间 t 的增加而增加，即 h(t) 单调递增；相应地，v(t) = h′(t) > 0； ② 从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度 h 随时间 t 的增加而减少，即 h (t) 单调递减；相应地，v(t) = h′(t) < 0.  O a t h b h(t) = – 4.9t2+4.8t+11 （1） O a t v b v(t) = – 9.8t + 4.8 （2） 问题2：我们看到，函数h(t)的单调性与h'(t)的正负有内在联系. 那么，我们能否由h'(t)的正负来判断函数h(t)的单调性呢? 对于高台跳水问题，可以发现: 当t∈(0, a)时，h′(t)>0，函数h(t)的图象是“上升”的，函数h(t)在(0, a)内单调递增； 当t∈(a, b)时，h'(t)<0，函数h(t)的图象是“下降”的，函数h(t)在(a, b)内单调递减. O a t v b v(t) = – 9.8t + 4.8 （2） O a t h b h(t) = – 4.9t2+4.8t+11 （1） 这种情况是否具有一般性呢? 问题3：观察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系. x y O (1) x y O (2) x y O (3) x y O (4) 在 x = x0 处，f ′(x0) > 0，切线是“左下右上”的上升式，函数 f (x) 的图象也是上升的，即函数 f (x) 在 x = x0 附近单调递增； 在 x = x1 处，f ′(x1) < 0，切线是“左上右下”的下降式，函数 f (x) 的图象也是下降的，即函数 f (x) 在 x = x1 附近单调递减. x y O y = f (x) (x0，f (x0)) (x1，f (x1)) 函数的单调性与导数的关系： 一般地，函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间具有如下的关系: 在某个区间(a, b)上, 如果f′(x)>0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递增; 在某个区间(a, b)上, 如果f'(x)<0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递减. 追问1 如果在某个区间上恒有f′(x)=0，那么函数f(x)有什么特性? 函数y=f(x)在这个区间上是常数函数. 例如: 对于函数y=x3，y′=3x2. 当x=0时，y′=0，当x>0时，y′>0， 而函数y=x3在R上单调递增. 追问2 上述关系反之是否成立？ 在区间I上，f (x)单调递增 在区间I上， f ′(x)>0 x y O f (x) ＝x3 例1.利用导数判断下列函数的单调性： (1)；(2)；(3). 解：(1)因为，所以 所以，函数在上单调递增，如图所示. 例1.利用导数判断下列函数的单调性： (1)；(2)；(3). 解：(2)因为，所以 所以，函数在上单调递减，如图所示. 例1.利用导数判断下列函数的单调性： (1)；(2)；(3). 解：(3)因为， 所以，函数在和上单调递增，如图所示. 练习1. 判断下列函数的单调性: 解： 例2.已知导函数的下列信息： 当时，； 当，或时，； 当，或时，. 试画出函数图象的大致形状. 解：当时，，可知在区间内单调递增； 当或时，，可知在区间和上都单调递减； 当或时，，这两点比较特殊，我们称它们为“稳定点”. 综上，函数图象的大致形状如图所示. 解： x y O a b c x y O a b c 练习2. 1.函数的单调性与