5.2.3 简单复合函数的导数 课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.2.3 简单复合函数的导数 注意：利用导数公式求导时，应根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式．有时还要先对函数解析式进行化简整理，这样能够简化运算过程． 复习引入 函数的加、减、乘、除的导数运算法则： 注意：有的函数，可以考虑将函数式先化简，然后再求导． 复习引入 思考.如何求函数y=ln(2x－1)的导数？ 因为f(x)=lnx的f´(x)= 所以y=ln(2x–1)的y´=对吗？ 因为函数y=ln(2x–1)不是由基本初等函数通过四则运算得到的，所以无法用现有的基本初等函数的求导公式直接求出它的导数. 问题1.函数y=ln(2x－1)的结构特点？ 若设 u = 2x – 1 (x > )，则 y = ln u . u = g(x) = 2x – 1 (x > ) y = f (u) = ln u 复合 y = f (u) = f (g(x)) = ln (2x – 1) 复合函数： 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数. 记作：y=f(g(x)). 问题2：求出y=sin2x的导数. 函数 y = sin 2x 由 y = sin u 和 u = 2x 复合而成； 以 y´x 表示 y 对 x 的导数，y´u 表示 y 对 u 的导数，u´x 表示 u 对 x 的导数； y´x = (sin 2x)´ = (2sin x·cos x)´ = 2[(sin x)´·cos x + sin x·(cos x)´] = 2[cos x·cos x + sin x·(– sin x)] = 2[cos2x·cos x – sin2x)] = 2cos 2x； 又 y´u = (sin u)´ = cos u，u´x = (2x)´ = 2， 所以 y´x = 2cos 2x = cos u · 2 = y´u · u´x . 复合函数求导法则 一般地，对于由y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数 y=f(g(x))，它的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积，简单的理解就是复合函数的导数等于内外函数的导数之积. 求复合函数导数的步骤 练习1（课本81页1）. 求下列函数的导数: 解： 解： 练习1（课本81页1）. 求下列函数的导数: 练习2. 求下列函数在给定点处的导数: 解： 解： 练习3. 回顾：结合本课关键词“复合函数”，回答下列问题？ 1. 什么是复合函数？ 2. 如何求复合函数的导数？ 3. 求解复合函数的导数时，有哪些需要注意的点？ 课堂小结： 基本初等函数的导数公式 1. 若，则 2. 若 3. 4. 5. 特别地 ，若 6. 例1.指出下列函数是怎样复合而成的． y＝(3＋5x)2；(2)y＝log3(x2－2x＋5)；(3)y＝cos 3x；(4)y＝esin x. 判断复合函数的方法 判断复合函数的复合关系的一般方法是从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要结构的，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，里层应是关于自变量x的基本函数或关于自变量x的基本函数经过有限次运算而得到的函数． 例2.求出下列函数的导数． y＝(3＋5x)2；(2)y＝log3(x2－2x＋5)；(3)y＝cos 3x；(4)y＝esin x. $$