5.3.1函数的单调性（二）课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及应用 5.3.1 函数的单调性 第 二课时 学习目标 1、利用导数求简单函数的单调区间 2、掌握利用导数判断函数单调性的方法 3、能利用导数的方法解决相关的单调性问题 知识回顾 探究1:函数变化快慢与导数大小的关系 探究1:函数变化快慢与导数大小的关系 一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得较快,这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数在这个范围内变化得较慢,函数的图象就比较“平缓”. x y O (2) x y O 1 • (1) 导数的绝对值变化 函数图象变化趋势 变大 “陡峭” 变小 “平缓” 函数增减的快慢与导数的关系 例 题 B 巩固练习 巩固:函数变化快慢与导数大小的关系 P87-3.函数y=f (x)的图象如图所示,试画出函数y=f ′(x)在区间(0,b)内图象的大致形状. a b P89-3.函数y=f ′(x) 的图象如图所示,试画出函数y=f(x)图象的大致形状. 新知探究2:不含参函数的单调性 问题2 如何利用导数研究形如f (x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的函数的单调性? 例3 解: 和 把函数定义域划分成三个区间, 在各个区间的正负,以及 的单调性如表所示: x (-∞, -1) -1 (-1, 2) 2 (2, +∞) f′(x) f(x) x y O -1 1 • 2 • 方法总结 利用导数研究函数y=f (x)的单调性的一般步骤: 第3步,用f ′(x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f ′(x)在各区间上的正负,由此得出函数y=f (x)在定义域内的单调性. 第2步,求出导数f ′(x)的零点; 第1步,确定函数f (x)的定义域; 利用导数研究函数y=f (x)的单调性的优势: 不熟悉的、复杂的函数 熟悉的、简单的函数 转化 课堂练习 1. 判断下列函数的单调性,并求出单调区间: 解: x (-∞, -1) -1 (-1, 1) 1 (1, -∞) f′(x) f(x) x y O -1 • 1 • LOGO 13 课堂练习 1. 判断下列函数的单调性,并求出单调区间: 解: x 1 (1, -∞) f′(x) f(x) x y O • 1 • LOGO 14 2. 判断下列函数的单调性: 角度2 求含参数函数的单调区间 知识梳理 自主探究 师生互动 合作探究 知识梳理 自主探究 师生互动 合作探究 (1)确定函数f(x)的定义域. (2)求导数f′(x). (3)解方程f′(x)=0,此时可能要对参数进行讨论,一般有三个讨论点: 知识梳理 自主探究 师生互动 合作探究 (4)结合定义域,画数轴、标根. (5)判定方程f′(x)=0的根的左右两侧导数的符号,写出单调区间. 知识梳理 自主探究 师生互动 合作探究 注意:①讨论参数要全面,做到不重不漏.②若涉及分式不等式要注意通分,结合定义域化简,也可转化为二次不等式求解. 知识梳理 自主探究 师生互动 合作探究 [针对训练] 已知函数f(x)=ax2ex-1(a≠0),求函数 f(x)的单调区间. 解:f′(x)=2axex+ax2ex=axex(2+x)(a≠0), 令f′(x)=0,则x=0或x=-2. ①若a>0, 当x<-2时,f′(x)>0,f(x)单调递增; 当-2<x<0时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当x>0时,f′(x)>0,f(x)单调递增. 知识梳理 自主探究 师生互动 合作探究 ②若a<0, 当x<-2时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当-2<x<0时,f′(x)>0,f(x)单调递增; 当x>0时,f′(x)<0,f(x)单调递减. 综上所述,当a>0时,f(x)的单调递增区间为(-∞,-2)和(0,+∞),单调递减区间为(-2,0); 当a<0时,f(x)的单调递增区间为(-2,0),单调递减区间为(-∞,-2)和(0,+∞). 知识梳理 自主探究 师生互动 合作探究 3.判断下列函数的单调性 (1)f(x)=x2-ln x; (2)f(x)=eq \f(ex,x-2) (3)f(x)=x3+eq \f(3,x). [例3] 讨论函数f(x)=ax2+x-(a+1)ln x(a≥0)的单调区间. 解:函数f(x)的定义域为(0,+∞), f′(x)=ax+1-=(a≥0). ①当a=0时,f′(x)=, 由f′(x)>0,得x>1,由f′(x)<0,得0<x<1. 所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. ②当a>0时,f′(x)=, 因为a>0,所以>0. 由f′(x)>0,得x>1,由f′(x)<0,得0<x<1. 所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上