正弦定理和余弦定理专题讲义-2024届高三数学一轮复习

专题 正弦定理和余弦定理 考情解读 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题； 重点知识梳理 1．正、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R a2＝b2＋c22bccos__A； b2＝c2＋a22cacos__B； c2＝a2＋b2－2abcos__C 常见 变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin_C； (2)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)； (3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)； cos B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ac)； cos C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab) 2.S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(abc,4R)＝eq \f(1,2)(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r. 高频考点突破 高频考点一　利用正弦定理、余弦定理解三角形 例1、(1)在△ABC中，已知a＝2，b＝eq \r(6)，A＝45°，则满足条件的三角形有(　　) A．1个 B．2个 C．0个 D．无法确定 (2)在△ABC中，已知sinA∶sinB＝eq \r(2)∶1，c2＝b2＋eq \r(2)bc，则三内角A，B，C的度数依次是________． (3)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝eq \r(3)，sinB＝eq \f(1,2)，C＝eq \f(π,6)，则b＝________. 【感悟提升】(1)判断三角形解的个数的两种方法 ①代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断． ②几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数． (2)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形．可用正弦定理，也可用余弦定理．用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数． 【变式探究】(1)已知在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是(　　) A．x＞2 B．x＜2 C．2＜x＜2eq \r(2) D．2＜x＜2eq \r(3) (2)在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝eq \r(3)，则AB＝________. 高频考点二　和三角形面积有关的问题 例2、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知A＝eq \f(π,4)，b2－a2＝eq \f(1,2)c2. (1)求tanC的值； (2)若△ABC的面积为3，求b的值． 【感悟提升】 (1)对于面积公式S＝eq \f(1,2)absinC＝eq \f(1,2)acsinB＝eq \f(1,2)bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式． (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． 【变式探究】四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2. (1)求C和BD； (2)求四边形ABCD的面积． 高频考点三　正弦、余弦定理的简单应用 例3、(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若eq \f(c,b)<cosA，则△ABC为(　　) A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 (2)在△ABC中，cos2eq \f(B,2)＝eq \f(a＋c,2c)(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　) A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 【举一反三】如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍． (1)求eq \f(sinB,sinC)； (2)若AD＝1，DC＝eq \f(\r(2),2)，求BD和AC的长． 【感悟提升】(1)判断三角形形状的方法 ①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． ②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论． (2)求解几何计算问题要注意 ①根据已知的边角画出图形并在图中标示； ②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理． 【变式探究