第十四章 三角形（10大题型）（50道压轴题专练）-2023-2024学年七年级数学下册单元速记·巧练（沪教版）

第十四章 三角形（10大题型）（50道压轴题专练） 压轴题型一 三角形三边关系的应用 1．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）阅读材料：若，求m、n的值． 解： ， ，，，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知等腰的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求△ABC的周长； (3)已知，，求的值． 2．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）已知，，是三角形的三边长． (1)化简：； (2)若，，，求（1）中式子的值． 3．（21-22七年级下·江苏苏州·期中）先阅读后解题： 若，求m和n的值． 解：等式可变形为： 即， 因为，， 所以， 即，． 像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”． 请利用配方法，解决下列问题： (1)已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，则的周长是______； (2)求代数式的最小值是多少？并求出此时a，b满足的数量关系； (3)请比较多项式与的大小，并说明理由． 4．（20-21七年级·浙江·期中）阅读材料：若，求，的值． 解：∵，∴， ∴，∴，，∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知，则________，________； （2）已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的周长． 5．（23-24八年级上·湖北孝感·期末）阅读材料：若，求m，n的值． 解：，， ，． 请解答下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知的三边a，b，c的长都是互不相等的正整数，且满足，求的最大边的长； 压轴题型二 与三角形的高、中线有关的计算问题 6．（22-23七年级下·上海宝山·期中）如图，在中，按下列要求画图并填空：    (1)画边上的高； (2)在上，连接，使得，请画出点； (3)已知，，，那么点到直线的距离为_______，的面积为_______． 7．（22-23七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，，分别为边上的高和中线，且． (1)求的长； (2)求和的周长之差； (3)若为边的三等分点，连接，与交于点，记的面积为，的面积为，求的值． 8．（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图所示已知，分别是的高和中线，，，，．试求：    (1)的长； (2)的面积； (3)与的周长的差 9．（23-24八年级·全国·假期作业）（数学经验）三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分． （经验发展）（1）面积比和线段比的联系：如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比，如图1，的边上有一点，请证明：； （结论应用）（2）如图2，的面积为1，，求的面积； （拓展延伸）（3）如图3，的边上有一点，为上任意一点，请利用上述结论，证明：； （迁移应用）（4）如图4，中，M是的三等分点，N是的中点，若的面积是1，请直接写出四边形的面积： ． 10．（23-24七年级上·北京西城·阶段练习）设的面积为． (1)如图1，延长的各边得到，且，，，记的面积为，则______．（用含的式子表示） (2)如图2，延长的各边得到，且，，，记的面积为，则________．（用含的式子表示） (3)如图3，P为内一点，连接、、并延长分别交边、、于点D、E、F，则把分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，则计算得到的面积________． 压轴题型三 三角形的内角和 11．（21-22八年级上·河南郑州·期末）如图①，在 中， 与 的平分线相交于点 P． (1)如果，则 的度数为 ； (2)如图②，分别作外角 的角平分线，两条角平分线相交于点 Q，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图③，延长线段 交于点 E，在 中，存在一个内角等于另一个内角的 3 倍，请直接 写出 的度数． 12．（22-23七年级下·广东·期中）【定义】如果两个角的差为30°，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”． 例如：，则和互为“伙伴角”，即是的“伙伴角”， 也是的“伙伴角”． (1)已知和互为“伙伴角”，且，则 ． (2)如图1所示， 在中，， 过点C 作的平行线，的平分线分别交于D， E两点． ①若， 且和互为“伙伴角”， 求的度数； ②如图2所示，的平分线交于点F， 当和互为“伙伴角”时，直接写出的度数． 13．（22-23七年级下·江苏南通·期末）如图，锐角，点，分别在，上． (1)如图，若，连接，，，的平分线与的平分线交于点，则 ______ ， ______ ； (2)若点在内部点不在线段上，连接，，，，，分别平分和，且与交于点，求的度数； (3)如图，点是线段延长线上一点，过点作于点，与的平分线交于点，请直接写出与的数量关系． 14．（23-24七年级下·江西宜春·开学考试）将一副直角三